L'estimation et l'approximation de grandeurs topologiques ou géométriques associées à des formes dont on ne connait qu'une approximation posent des problèmes pratiques et théoriques délicats en calcul géométrique. Ces problèmes ont été largement étudiés depuis plusieurs années dans le cas de la reconstruction d'hypersurfaces lisses dans R^n : à partir d'un nuage de points mesurés sur une forme lisse, on souhaite 'reconstruire' la surface de cette forme en garantissant que le résultat produit possède la même topologie que celle de la forme échantillonnée. Il existe bon nombre de résultats et d'algorithmes satisfaisant permettant de répondre a ce problème dans le cas particulier des surfaces dans R^3.Cependant, les résultats et les méthodes actuelles possèdent un double inconvénient. Ils ne se généralisent pas à des objets non lisses et conduisent à des algorithmes inefficaces en dimension supérieure à 3. Le développement récents des outils de mesure et de simulation nécessite de mettre au point des techniques mathématiques et algorithmiques permettant d'extraire l'information topologique et géométrique de nuages de points issus d'objets non lisses dans des espaces de toutes dimensions. Dans cet exposé, nous présenterons quelques résultats récents dans cette voie. Nous verrons en particulier, que dans le cas de l'approximation d'objets non lisses, il apparait des ``phenomènes d'échelle'' faisant apparaitre différentes topologies à différentes échelles.
Attention: l'exposé aura lieu dans l'amphithéâtre Nivolet
Le but de l’exposé est de faire une introduction à la géométrie tropicale et de présenter ses applications à la géométrie énumérative réelle et complexe.
La géométrie tropicale est un domaine relativement nouveau de mathématiques qui a connu un progrès spectaculaire durant les cinq dernières années. L’apparition de la géométrie tropicale était motivée par ses liens multiples et profonds avec plusieurs branches de mathématiques. Une relation importante entre le monde complexe et le monde tropical est donnée par le théorème de correspondance de Mikhalkin. Ce théorème et la découverte par J.-Y. Welschinger d’un analogue réel des invariants de Gromov-Witten produisent des nouveaux résultats concernant le dénombrement de courbes rationnelles réelles.
On considère un modèle qui décrit la synchronisation de l’activité électrique des cellules du noeud sinusal et la formation du ryhtme cardiaque. L’objet de l’exposé est de présenter les outils mathématiques qui sont nécessaires à cette modélisation puis de faire le point sur ce qui est connu et ce qui reste à développer dans les domaines mathématiques concernés (bifurcation des cycles limites, accrochage des phases, systèmes isochrones et leur perturbation, synchronisation).
Etant donné un ensemble fini de points, le problème que nous considérerons consiste à construire une surface qui l’approche. Différents types de surfaces peuvent etre considérées: des surfaces polyhédrales possédant différents types de convexité ou des surfaces equipotentielles parmi lesquelles on trouve les surfaces algebriques (le potentiel est donné par un polynome). C’est sur le problème de la reconstruction de surfaces algebriques que nous focaliserons nos efforts. Nous ferons le lien entre ce problème et la notion de couche digitale développée dans le cadre de la géométrie discrète. Nous pourrons ainsi donner un aperçu des solutions développées dans ce domaine, et de leurs nombreuses applications.
Cet exposé sera constitué de deux parties portant sur des problèmes de mathématiques discrètes et utilisant des techniques de combinatoire des mots, de géométrie discrète et de pavages du plan.
Dans la première partie, nous présenterons une introduction aux techniques de la tomographie discrète. Ce domaine a pour objet la reconstruction de matrice à valeurs dans {0,1} connaissant un petit nombre de projections (les projections ou contraintes tomographiques sont des vecteurs donnant par exemple le nombre de 1 sur chaque ligne et le nombre de 1 sur chaque colonne). Nous présenterons l’algorithme de Ryser pour la reconstruction de matrices connaissant les projections verticale et horizontale, puis la reconstruction de polyominos horizontalement et verticalement convexes avec contraintes tomographiques. Les méthodes utilisées font appel à la géométrie discrète mais aussi à des réductions à 2-SAT. Enfin, nous aborderons des résultats récents sur la reconstruction de matrices avec périodicité et contraintes tomographiques.
Dans la deuxième partie, nous montrerons que la complexité d’un mot de coupures u dans un pavage régulier par un polyomino Q est égale à Pn(u)=(p+q-1)n +1, pour tout n > 0 où Pn(u) compte le nombre de facteurs distincts de longueur n du mot infini u et où le mot de contour du polyomino Q est donné par 2p segments horizontaux et 2q segments verticaux. Nous reviendrons dans cet exposé sur le théorème de Beauquier-Nivat donnant une caractérisation par mots de contour des polyominos qui pavent le plan par translations.
Recently, Iwata, Kawasaki and Shigesada proposed a dynamical model for the growth and size distribution of multiple metastatic tumors [J. theor. Biol., 203, 177--186 (2000)], which is based on von Foerster’s equation from population dynamics. In the seminar we reformulate the model from a mathematical point of view and give an existence results using the method of characteristics and standard theory for linear integral equations. A dimensionless form of the model shows that it contains some interesting short and large-time asymptotics.
Ridges are bright lines on a dark background (or dark lines on a bright background). An accurate mathematical definition of ridges presents some difficulties (arising also in other similar problems):
there are several intuitively justified definitions which are not equivalent mathematically and which lead to quite different results in practice.
We discuss a "differential-geometric" definition of ridges and compare it with some other possible definitions. Then we describe a stable high order numerical algorithm for ridge detection.