Depuis l'exceptionnelle contribution d'Alan Turing sur la modélisation mathématique de la morphogénèse en 1952, il est connu qu'ajouter de la diffusion dans un bon système d'équations différentielles ordinaires peut, paradoxalement, détruire la stabilité des solutions stationnaires. Ces instabilités, dites de Turing, conduisent alors à de nouveaux états stationnaires qui sont non homogènes en espace et font apparaître une riche panoplie de motifs asymptotiques. Il s'avère que l'ajout de diffusion peut même détruire l'existence globale en temps et créer des explosions en temps fini. Le but de cet exposé est de discuter cette question d'existence globale pour les systèmes de réaction-diffusion, en particulier ceux, très fréquents dans les applications, où la positivité des solutions est préservée et pour lesquels la masse totale est à priori bornée. Bizarrement, la question reste encore ouverte dans sa généralité. Nous indiquerons ce qui a été résolu ainsi que les défis restants.