Cette thèse porte sur des propriétés arithmétiques des fonctions méromorphes et transcendantes d'une variable. Nous définissons des mesures de transcendance pour les fonctions holomorphes ou méromorphes sur un domaine régulier du plan puis nous majorons ces mesures en fonction de la distribution des petites valeurs de la fonction étudiée. Grâce aux théories de Nevanlinna et d'Ahlfors, nous étudions la distribution des petites valeurs de certaines classes de fonctions méromorphes sur le disque ou le plan afin d'obtenir pour celles-ci des majorations explicites de leurs mesures de transcendance. L'application principale de ce travail est l'obtention de nouveaux lemmes de zéros polynomiaux pour de grandes familles de fonctions méromorphes et en particulier pour les fonctions elliptiques et les fonctions fuchsiennes. Ces lemmes de zéros polynomiaux conduisent à des bornes logarithmiques du nombre de points algébriques de degré et hauteur bornés contenus dans les graphes des fonctions étudiées.