On appelle circuit tout ensemble de n+2 points entiers dans Zn. Un système polynomial est supporté par un circuit si ses n équations ont pour support commun un circuit dans Zn.
On donne ici des bornes supérieures sur le nombre de solutions réelles d’un tel système en fonction du "rang modulo 2" du circuit et de la dimension de l’espace affine du sous-ensemble minimal du circuit constitué de points affinement dépendants. On montre que ces bornes sont exactes en dessinant des graphes sur la sphère de Riemann, qui sont des exemples de "Dessins d’enfants".
On obtient aussi qu’un tel système a au plus n+1 solutions positives (dont toutes les coordonnées sont strictement positives), et cette borne est exacte. Cette dernière borne n+1 améliore considérablement la borne donnée par le théorème de Khovanskii (théorie des Fewnomials).