Je présenterai deux résultats concernant le contrôle d’une structure o-minimale par ses ensembles définissables de dimension deux :
- La structure engendrée par les sous-ensembles semi-algébriques de R2 élimine ses quantificateurs (théorème de Tarski-Seidenberg pour les ensembles semi-2-algébriques).
En particulier, il existe une structure o-minimale strictement plus petite que celle des semi-algébriques mais qui définit (exactement) TOUS les ensembles semi-algébriques de R2.
- Considérons une expansion (o-minimale) S du corps des réels qui admet un théorème de décomposition C^{infty}.
S’il existe un n>1 tel que tous les ensembles S-définissables sont en fait semi-algébriques alors S est la structure des semi-algébriques.
On peut ainsi "reconnaître" les structures qui définissent des ensembles non semi-algébriques dès la dimension 2.