En 2005-2007 Burdzy, Caffarelli et Lin, Van den Berg ont conjecturé, dans des contextes différents, que la somme (ou le maximum) des valeurs propres fondamentales du Laplacien-Dirichlet associées à des cellules disjointes d'un domaine planaire est asymptotiquement minimale pour une structure en nid d'abeilles, quand le nombre de cellules devient très grand. Je vais discuter l'histoire de cette conjecture en détaillant les arguments de Fejes Toth et Hales sur le problème du nid d'abeilles classique, et je vais démontrer la conjecture (du maximum) pour les valeurs propres du Laplacien-Robin. Les résultats présentés ont été obtenus avec I. Fragala, B. Velichkov et G. Verzini.