Soit Omega inclus dans R^n, un ensemble de mesure finie tel que pour un rayon r (inférieur au diamètre), le volume de l'intersection de Omega avec toute boule de rayon r centrée en un point du bord est constant. Nous démontrons que Omega doit être une boule s'il est ouvert et connexe, ou s'il est mesurable de périmètre fini et indécomposable. Dans le cas le plus général, sous une hypothèse qui remplace la connexité/indécomposabilité, un ensemble mesurable satisfaisant cette propriété doit etre une réunion de boules identiques. La preuve est basée sur une réinterprétation de la méthode des hyperplans mobiles d'Alexandrov-Serrin dans le contexte d'ensembles mesurables. En effet, ce résultat peut-etre vu comme un théorème de rigidité à la Alexandrov pour des ensembles mesurables à courbure moyenne non locale constante. Travail en collaboration avec I. Fragalà (Milan).