Développements trans-asymptotiques de germes o-minimaux


Tamara Servi, Université Paris Cité. 16 novembre 2023 15:00 TLR geo
Abstract:

Étant donné deux fonctions réelles $f$ et $g$, qui engendrent deux structures o-minimales, respectivement $M(f)$ et $M(g)$, on dira que $f$ est définissable à partir de $g$ si le graphe de $f$ appartient à $M(g)$. On peut considérer la non-interdéfinissabilité de deux fonctions o-minimales $f$ et $g$ comme une sorte d'indépendance fonctionnelle, qui généralise celle différentielle-algébrique. La motivation initiale de ce travail est la question suivante : soient $f$ la restriction à la demi-droite réelle ${ x: x>1}$ de la fonction $\zeta$ de Riemann et $g$ la restriction à la demi-droite réelle positive de la fonction Gamma d'Euler (deux fonctions o-minimales). Est-ce que $f$ est définissable à partir de $g$ ? Pour répondre (négativement) à cette question (et à d'autres questions dans le même esprit), nous montrons que l'on peut plonger le corps des germes de fonctions définissables dans une structure o-minimale $M$ engendrée par une classe quasi-analytique généralisée, dans un corps de séries logarithmico-exponentielles, et que l'image $F$ d'un germe $f$ par ce plongement est un développement trans-asymptotique de $f$ dans une échelle asymptotique appropriée. En étudiant les propriétés de tels objets formels $F$ (support, coefficients, convergence...) on peut déduire que certains germes réels ne sont pas définissables dans la structure $M$. (travail en cours avec J.-P. Rolin et P. Speissegger).