Complexité des jeux positionels.
Les jeux positionnels sont des jeux à deux joueurs joués sur un hypergraphe. Les joueurs sélectionnent alternativement des sommets de l'hypergraphe et les conditions de victoires dépendent du remplissage des hyperarêtes. Le Morpion est le plus célèbre exemple de jeu positionnel avec les lignes, colonnes et diagonales formant les hyperarêtes et le premier joueur à remplir une hyperarête gagnant la partie. Les jeux positionnels ont été étudiés depuis leur introduction par Hales et Jewett en 1963, et ont été popularisés par Erdős et Selfridge en 1973. La version Maker-Breaker des jeux positionnels, la version la plus étudiée, a été prouvée comme étant PSPACE-complet par Schaefer en 1978, mais de nombreux problèmes restent ouverts concernant la complexité des jeux positionnels. En particulier, la complexité de la version Avoider-Enforcer restait ouverte, et les jeux positionnels et leur complexité étaient peu étudiés sur des classes restreintes d'hypergraphes. Dans cette présentation, nous allons commencer par introduire les jeux positionnels et donner un aperçu des principaux résultats du domaine. Puis, nous esquisserons une preuve de la PSPACE-complétude de la version Avoider-Enforcer. Enfin, nous conclurons cette présentation en étudiant les jeux positionnels en lien avec des problèmes de graphes et la complexité de tels problèmes.
Complexity of positionnal games
Positional games are two-player games played on a hypergraph. The players alternate selecting vertices of the hypergraph, and the winning conditions depend solely on the filling of the hyperedges. Tic-tac-toe is a famous example of a positional game, with the rows, columns, and diagonals forming the hyperedges and the first player to fill a hyperedge winning the game. Positional games have been studied since their introduction by Hales and Jewett in 1963, and were popularized by Erdős and Selfridge in 1973. Even though the Maker-Breaker convention, the most studied form of positional games, was proven to be PSPACE-complete by Schaefer in 1978, many problems remained open regarding the complexity of positional games. In particular, the complexity of the Avoider-Enforcer convention remained open, and positional games and their complexity were little considered on more restricted classes of hypergraphs. This presentation will begin with an introduction to positional games, providing an overview of the main results in the field. Then, we will give a proof sketch for PSPACE-completeness of the Avoider-Enforcer game. Finally, we will conclude this presentation by studying positional games in relation to graph problems and the complexity of such problems.