Les compactifications équivariantes de groupes, comme les variétés toriques ou les compactifications d’espaces vectoriels, sont des familles-tests régulièrement mises à contribution dans l’étude de la répartition des points rationnels sur les variétés algébriques (conjecture de Manin-Peyre).
Notamment, à la fin des années 90, l’emploi d’outils d'analyse harmonique a permis à Victor Batyrev et Yuri Tschinkel d’établir une formule asymptotique pour le nombre de points rationnels de hauteur anticanonique bornée sur une variété torique, en faisant un usage clef d’une formule de Poisson adélique. Puis, au début des années 2000, ce résultat a été étendu aux corps de fonction de charactérique positive par David Bourqui. Un peu plus tard encore, une approche similaire a permis à Antoine Chambert-Loir et Yuri Tschinkel de traiter le cas des compactifications équivariantes d’espaces vectoriels sur un corps de nombres.
Ces dix dernières années, une version motivique additive de ces outils et résultats pour les compactifications d’espaces vectoriel a été développée successivement par Antoine Chambert-Loir et François Loeser puis Margaret Bilu, ce qui a servi de base à la formulation d’un principe de Manin-Peyre dans une version motivique.
L’objet de cet exposé est le fruit d'un travail en collaboration avec Margaret Bilu dans lequel nous développons une version motivique multiplicative de cette approche, laquelle nous permet de démontrer un phénomène de stabilisation motivique dans l’espace de module des morphismes d’une courbe lisse projective complexe quelconque vers une variété torique.