Soit $K$ un corps algébriquement clos de caractéristique $p\geq 0$ et soit $f\in K[[x,y]]$ une série réduite. On note $\tilde{\mathcal{O}}$ la cloture intégrale de l'anneau $\mathcal{O}:=K[[x,y]]/(f)$ et $\delta(f):=\dim_K\tilde{\mathcal{O}}/\mathcal{O}$.
Notons $$ \overline{\mu}(f):=2\delta(f)-r(f)+1 $$ où $r(f)$ est le nombre de facteurs irréductibles de $f$.
Soit $$ \mu(f):=\dim_K K[[x,y]]/\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right). $$ le nombre de Milnor de $f$.
En 1968, Milnor a montré que $\overline{\mu}(f)=\mu(f)$ si $K=\mathbb{C}$, et en 1973, Deligne a montré qu'en toute caractéristique, $$ \mu(f)\geq\overline{\mu}(f). $$
Dans cet exposé, on s'intéresse aux cas d'égalité. (Travail commun avec Enrique Artal Bartolo.)