A une courbe irréductible dans le plan projectif, on peut associer son complément, qui est une surface affine. Si deux courbes sont projectivement équivalentes, i.e. s'il existe un automorphisme du plan qui envoie l'une sur l'autre, les complémentaires sont évidemment isomorphes. En 1984, Hisao Yoshihara conjecturait la réciproque. J'essaierai de présenter cette conjecture, ainsi que les nombreux cas où elle a été démontrée. Puis je donnerai un contre-exemple à la conjecture, à l'aide de courbes de degré 39 bien particulières.