Le nombre de Picard \rho d’une surface lisse S est le rang du groupe engendré par les diviseurs modulo équivalence numérique. Ce nombre est borné par h^{1,1}(S) ; quand \rho=h^{1,1}(S), la surface S est dite « singulière » (terminologie due à Shioda). Les exemples de surfaces « singulières » sont usuellement obtenus à partir de surfaces possédant des symétries et contenant beaucoup de courbes rationnelles (par exemple, (-2)-courbes ou bien droites dans le cas d’une hypersurface). Une surface de Fano est une surface de type général qui paramètre les droites d’un solide cubique. Dans cet exposé, on construit des surfaces de Fano « singulières » contenant beaucoup de courbes elliptiques. L’étude des courbes elliptiques d’une surface de Fano S est initialement motivée par le problème de l’amplitude du fibré cotangent de S, nous expliquerons cet aspect. Nous illustrerons cet exposé par l’exemple de la surface de Fano du solide cubique:
x_1^3+....+x_5^3=0 ,
unique surface de Fano contenant 30 courbes elliptiques.