En 1962, Cohen a résolu le premier problème de Hilbert en montrant que l'hypothèse du continu est indécidable dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. La technique qu'il a introduite pour établir ce résultat non trivial - le forcing - est devenue aujourd'hui un outil standard en théorie des modèles. Cette technique a permis d'établir de nombreux autres résultats de cohérence relative (ou d'indépendance), comme par exemple la cohérence de l'axiome de Solovay: « toute partie de R est mesurable au sens de Lebesgue » dans une théorie des ensembles sans axiome du choix (mais avec choix dépendant).
Dans cet exposé introductif au forcing, je me propose de présenter la théorie des modèles booléens, une variante du forcing (introduite par Scott, Solovay et Vopenska dans les années 1960) qui permet de faire essentiellement les mêmes constructions que Cohen, mais dans un cadre qui est plus facile à saisir au premier abord. J'introduirai les notions de base (algèbres de Boole, ultrafiltres, modèles booléens, quotient, produit, ultraproduit et ultrapuissance) tout en illustrant mon propos par quelques exemples de constructions, notamment en lien avec l'« analyse non standard ».
La preuve de l'indépendance de l'hypothèse du continu à l'aide de ces outils fera l'objet de l'exposé suivant.