Cet exposé commence par la présentation rapide de la règle Minorité stochastique et de ses particuliarités. Ensuite, je présenterai une application de cette règle pour modéliser la formation de quasi-cristaux.
Considérons un graphe où chaque sommet reçoit la couleur noire ou blanche. Une arête contient une erreur si elle relie deux sommets de la même couleur. Minorité est une dynamique stochastique minimisant rapidement l'énergie. Sous cette dynamique, un sommet, chosi aléatoirement et uniformément parmi l'ensemble des sommets, peut changer d'état si au moins la moitié des arêtes qui lui sont adjacentes sont erronées. Cette dynamique est sensible à la topologie du graphe et son analyse fine s'est révélée compliquée.
En physique, dans les annnées 70, il était conjecturé que toutes les structures ordonnées soient périodiques. En 1984, un contre-matériaux fût découvert et reçu le nom de quasi-cristal. Dès 1974, Penrose avait présenté un structure théorique ordonnée et apériodique. Le but de notre projet est de présenter un modèle pour expliquer la formation d'une telle structure. Pour cela, nous considérons le modèle des pavages par coupe et projection (qui contient le pavage de Penrose). En définissant une notion d'erreur et d'énergie sur ces pavages, la règle Minorité procédant par flips permet de converger rapidement expérimentalement vers une structure ordonnée qui selon la famille de pavages par coupe et projection considérée est soit périodique, soit apériodique. Je présenterai nos résultats expérimentaux ainsi que notre analyse de cette dynamique pour les pavages 2 vers 1 (mots sur deux lettres).