Je commencerai par présenter, pour un nombre premier p fixé, le corps des nombres p-adiques, qui joue un rôle majeur en arithmétique. Il est muni d'une distance naturelle pour laquelle il est complet, mais totalement discontinu. Faire de la géométrie (algébrique ou analytique) intéressante sur ce type de corps est donc délicat, mais tout de même possible. Plusieurs stratégies existent pour contourner la totale discontinuité ; je présenterai celle de Berkovich, qui consiste à «rajouter beaucoup de points» aux espaces «naïfs» de départ de façon à les rendre connexes par arcs. J'illustrerai les constructions et définitions par des exemples simples, et montrerai une ou deux applications ce ce point de vue, par exemple aux systèmes dynamiques.