Dans un espace métrique compact (X,d), l’ensemble A(x) des antipodes du point x est l’ensemble des maxima globaux de la fonction qui à un point y associe d(x,y). Si (X,d) est le plan projectif réel à courbure constante, alors pour tout x, A(x) est une courbe fermée. L’objet de cet exposé sera de montrer la réciproque : si sur une surface riemannienne lisse chaque point (diamétral) a un ensemble d’antipodes sans extrémités (par exemple une courbe fermée), alors il s’agit du plan projectif réel à courbure constante.