Le 17 ème problème de Hilbert (1900) est le suivant: est ce qu'un polynôme positif en plusieurs variables est une somme de carrés de fractions rationnelles ? La réponse positive d'Artin (1927) est basée sur le lemme de Zorn: tout corps réel (où -1 n'est pas une somme de carrés) peut être ordonné. Artin note déjà qu'une construction effective de la somme de carrés serait souhaitable mais semble difficile. La difficulté vient des dénominateurs: quelles sont les bornes sur leurs degrés ? Un travail de Kreisel (1957) donne des bornes primitive récursives, mais pas élémentairement récursives (i.e. majorés par une tour finie d'exponentielles) Notre travail (en progrès) donne une tour de cinq exponentielles dans le nombre des variables et le degré du polynôme. (Travail en commun avec Henri Lombardi et Daniel Perrucci.)