Le discriminant réel est l'ensemble des polynômes homogènes à coefficients réels et pourvus d'au moins une singularité réelle. La norme de Bombieri permet de donner une formule explicite pour la distance au discriminant dont l'étude permet d'obtenir des résultats intéressants en particulier sur les hypersurfaces extrémales (maximum locaux pour la somme des nombres de betti). On définira par exemple la bande critique (la bande la plus large définie par { x in |R^n | ||x|| = 1 et |P(x)| < m} et ne contenant aucun point critique de P) et on montrera que cette bande a une largeur bornée par Pi/sqrt(d) où d est le degré de P lorsque le niveau 0 de P est extrémal. On en déduira une borne (pas très bonne) pour la plus petite valeur critique de P. On regardera le cas particulier de la dimension 0 (polynome homogène à deux variables) où l'on peut trouver une borne optimale de la plus petite valeur critique pour les polynomes de degré d à d racines.