We exhibit a model structure on 2-Cat. A certain class of homotopies in this model structure turns out to be in 1-to-1 correspondence with strong simulations among labeled transitions systems, formalising the geometric intuition of simulations as deformations. The correspondence still holds in the cubical setting, characterising simulations of higher-dimensional transition systems (HDTS).
Finiteness spaces were introduced by Ehrhard as a model of linear logic, which relied on a finitess property of the standard relational interpretation and allowed to reformulate Girard's quantitative semantics in a simple, linear algebraic setting. I will review recent results obtained in a joint work with Christine Tasson, providing a very simple and generic construction of finiteness spaces: basically, one can ``transport'' a finiteness structure along any relation mapping finite sets to finite sets. Moreover, this construction is functorial under mild hypotheses, satisfied by the interpretations of all the positive connectives of linear logic. Recalling that the definition of finiteness spaces follows a standard orthogonality technique, fitting in the categorical framework established by Hyland and Schalk, I will show that the features of transport do not stand on the same level as the orthogonality category construction; rather, they provide a simpler and more direct characterization of the obtained structure, in a webbed setting. PS: Although I have slides (in english) ready for this presentation, it is best enjoyed in its chalk and blackboard version so I will stick to the latter.
The epistemic logic used for n-agent systems is the modal logic $S5_n$. In this talk I will briefly look at the Kripke semantics of this, how it relates to simple models of multiagent systems, and then will explore some ideas that make some tentative steps in the direction of modelling the flow information and knowledge in such systems. (The last part will raise more problems and questions than it answers but that is the fun of it!!! Since the paper below was written, directed homotopy has been developed more and it remains to be seen if it can be used to describe evolving multi-agent systems. I will discuss this beyond the prepared slides, if there is time.) (As I have slides in English, I will give the talk in that language.) Ref: Interpreted systems and Kripke models for multiagent systems from a categorical perspective, Theoretical Computer Science, 323 (2004) pp. 235-266.
Let $(X,G)$ be a space of orderings, let $G_0$ be a subgroup of index $2$ in $G$, $-1 in G_0$, and let $X_0$ denote the set of restrictions $X restriction G_0$ of elements of $X$ (viewed as characters on $G$) to characters on $G_0$. We search for necessary and sufficient conditions on $G_0$ for $(X_0,G_0)$ to be a quotient of $(X,G)$. In particular, we discuss the case when $(X,G)$ is the space of orderings of the field $Q(x)$. The talk is intended for a broad audience and all definitions necessary to follow the exposition will be explained in details. This is joint work with Murray Marshall.
Les « systèmes d'interaction » étaient à l'origine un moyen de représenter une notion de « jeux » en théorie des types. On obtient de cette manière une catégorie de jeux et de simulations qui modélise la logique linéaire différentielle. De manière assez surprenante, la dynamique ne joue aucun rôle dans la définition de composition des stratégies ! Cette notion de jeux existe sous des noms différents : « containers » (Ghani, Altenkirch, Hancock, ...) ou « foncteurs polynomiaux » (Hyland, Kock, Gambino, ...). Ce qui change ici est la notion de morphisme, plus générale que dans la littérature existante. Après une petite introduction, je montrerais les liens entre ces polynômes (point de vue intentionnel) et les foncteurs associés (point de vue extensionnel). Je construirais ensuite le modèle de (D)ILL en insistant sur l'interprétation en termes de jeux et les similarités formelles avec le modèle « dégénéré » des transformateurs de prédicats. Je ne ferais probablement aucune preuve, mais je mentionnerais quand même l'outil important, à savoir le langage interne des catégories localement cartésiennes fermées (càd la théorie des types dépendants)...
On muni les tuples d'ensembles d'entiers (X1, ..., Xn) de l'ordre suivant : (X1, ..., Xn) < (Y1, ..., Yn) si les Xs ont plus de « sections non-ordonnées » que les Ys. L'équivalence engendré par ce préordre est très simple, mais la preuve, bien qu'élémentaire, l'est moins (il s'agit d'un petit casse-tête amusant...). Je caractériserais cette équivalence (avec la preuve) ainsi que les liens entre cet ordre et l'inclusion toute simple. La preuve utilise la notion de fonction booléenne strictement croissante, qui semble ne pas apparaitre souvent dans la littérature. Je montrerais quelques unes de leurs propriétés. Pré-requis : notion d'ordre, de permutation, de quotient. (niveau L1)
Nous considérons le problème d'ajustement suivant : étant donné un ensemble de N points dans une image numérique en dimension d (i.e. Z^d), trouver un hyperplan discret qui contient le plus grand nombre possible de points. En utilisant un modèle discret pour l'hyperplan, nous montrerons que nous pouvons générer tous les ensembles de consensus possibles pour ajuster le modèle, et présenterons une méthode exacte pour d=2,3 dont la complexité en temps est O(N^d log N) et celle en espace est O(N). Ces complexités ont naturellement motivé l'amélioration. Nous avons ensuite observé que le problème est 3SUM-difficile pour d=2 de sorte qu'il ne peut probablement pas être résolu exactement avec une complexité meilleure que O(N^2), et il est conjecturé que la complexité optimale en dimension d est en fait O(N^d). Nous proposons donc deux méthodes approximatives de complexité linéaire en temps.
Between the important thing, when we deal with a type or a formula A of a system of typing that satisfies the strong normalization S.N., is to build a set of terms that satisfies 'a term in the set corresponding to A is equivalent to say that t is of type A. Unfortunally it is impossible to have this equivalency because of S.N., so the work take another formulation to escape this problem and it becomes 'a term in the set corresponding to A is equivalent to say that t is in relation with t' which is of type A'. many studies having this form where been published for many systems and relations. My work will be around the simply typed system in lambda mu calculus.
La définition des différentes K-théories suit le schéma suivant. Etant donné un objet C, on lui associe d'abord une catégorie AC qui est « structurée » (symétrique monoïdale, exacte, Waldhausen, …). On applique ensuite une « machine » de K-théorie sur AC pour obtenir finalement le spectre de K-théorie de l'objet C. Par exemple, on associe à un anneau R sa catégorie de modules projectifs de type fini pour obtenir la K-théorie usuelle de R. Dans ma thèse, je me suis intéressé à la première étape de ce processus. Plus précisément, je me suis posé les questions suivantes. Quels types d'objets admettent une notion intéressante de K-théorie ? Quelles catégories structurées devrait-on associer à ces objets pour obtenir une information K-théorique à leur sujet ? Finalement, comment cette correspondance prend-elle en compte les morphismes de ces objets ? Je vais décrire un cadre conceptuel qui permet de traiter de manière unifiée de nombreux exemples et qui apporte de nouveaux outils pour les étudier. Je prendrai l’exemple de la K-théorie des schémas comme fil conducteur.
We present here a strongly normalizable extension of second order functional arithmetics (AF2) with subtyping, that allows to program with recursive types in the pure lambda-calculus (i.e., without constant). It assigns types to the Scott encoding of algebraic datatypes and to the recursor on those types. Thus, it answers the open question of finding a strongly normalizing type system which allows to program on Scott numerals. One of the key features of the system is to have no more typing rules than AF2. The new rules are only subtyping rules. The first-order layer is used to prove the correction of extracted programs. It is also worth noticing that in this system union type (both finite and infinite) are definable and still the system enjoys subject-reduction.
Spatial computing aims at providing a scalable framework where computation is distributed on a uniform computing medium and communication happen locally between nearest neighbors. We study the particular framework of cellular automata, using a regular grid and synchronous update. As a first step towards generic computation, we propose to develop primitives allowing to structure the medium around a set of particles. We consider three problems of geometrical nature: moving the particles on the grid in order to uniformize the density, constructing their convex hull, constructing a connected proximity graph establishing connection between nearest particles. The last two problems are considered for multidimensional grid while uniformization is solved specifically for the one dimensional grid. The work approach is to consider the metric space underlying the cellular automata topology and construct generic mathematical object based solely on this metric. As a result, the algorithms derived from the properties of those objects, generalize over arbitrary regular grid. We implemented the usual ones, including hexagonal, 4 neighbors, and 8 neighbors square grid. All the solutions are based on the same basic component: the distance field, which associates to each site of the space its distance to the nearest particle. While the distance values are not bounded, it is shown that the difference between the values of neighboring sites is bounded, enabling encoding of the gradient into a finite state field. Our algorithms are expressed in terms of movements according to such gradient, and also detecting patterns in the gradient, and can thus be encoded in finite state of automata, using only a dozen of state.
In this talk, we discuss how to model in a finite way the semantics of resource-allocating interactive programs. Surprisingly, in doing so, the notion of behavioural symmetry arises from the framework, and is necessary to recover canonical models. Behavioural symmetry expresses properties relating the semantics of a program and the available resources at each state, e.g. ``the distinguished variables x and y have the same observable effect, and swapping them does not affect the semantics of the program''. Labelled transition systems (LTSs) have been successfully used to model the semantics of interactive programming languages. Their natural equivalence relation, the so-called bisimilarity, is a fundamental tool for the study of such languages. However, when resources (e.g. memory locations) can be allocated and de-allocated along transitions, bisimilarity becomes a non-standard notion (cf. the pi-calculus). The categorical abstraction of coalgebras generalises LTSs and has an associated, general definition of behavioural equivalence, coinciding with bisimilarity for LTSs. Presheaves generalise classical sets; elements of presheaves have intensional features such as interfaces, or resources, and operations on them. By using coalgebras in a category of presheaves, bisimilarity in the presence of resource allocation is recovered from the standard categorical definition. However, the obtained transition systems become infinite state machines because of fresh resources. An equivalence between categories of presheaves and of families recovers a finite representation for memory-bound programs. An associated notion of symmetry is necessary for the equivalence to hold, and for final systems (=canonical models) to exist, giving rise to behavioural symmetry.
Cet exposé, faisant suite au précédent sur les préfaisceaux, est une introduction aux faisceaux, un autre important outil catégorique dérivé des premiers. Je rappellerai le lemme de Yoneda, puis définirai les notions de crible, topologie de Grothendieck et enfin faisceau, en m'appuyant sur des exemples et contre-exemples. Si le temps le permet, je survolerai le théorème du faisceau associé, qui construit un faisceau à partir d'un préfaisceau arbitraire (si Christophe est là, on parlera de PML). Enfin, peut-être, je raconterai en deux mots mon travail avec Damien Pous, qui repose sur une description en termes de faisceaux des stratégies dites ``innocentes'' en sémantique des jeux.
En 1998, Pestov montra que le groupe G des automorphismes des rationnels (vus comme ensemble ordonné) est extrêmement moyennable, c'est-à-dire que toute action continue de G sur tout espace topologique compact admet un point fixe. Pour ce faire, il démontra que la propriété énoncé ci-dessus est équivalente au théorème de Ramsey fini. Ce résultat constitue le point de départ des travaux de Kechris, Pestov et Todorcevic, qui établirent en fait qu'il s'agit là d'un phénomène général liant théorie de Ramsey pour certaines classes de structures finies (classes de Fraïssé) et moyennabilité extrême pour certains groupes topologiques. Le but de cet exposé sera de présenter la correspondance de Kechris-Pestov-Todorcevic ainsi que certaines de ces conséquences.
Cet exposé est une introduction aux préfaisceaux, un important outil catégorique. Je reprendrai du début: catégories, foncteurs, transformations naturelles, en considérant de nombreux exemples petits et gros. Je concluerai par le lemme de Yoneda en donnant l'exemple des graphes.
IR' is a powerful principle for in the context of dependent type-theory, for defining simultaneously a set U *inductively*, with a function T : U -> D *recursively*. D may belarge', eg the type of Sets, and a paradigm example is a universe of (codes for) sets. I will try to motivate and illustrate this principle. Using containers (a particular kind of endofunctor on Set), one can distill out the essence of IR in an extremely compact, memorable form. I will try to give a tour of the distillery.
Dans cet exposé, nous montrerons comment utiliser la combinatoire des mots et la théorie des automates afin d'étudier certaines propriétés arithmétiques des séries de Laurent à coefficients dans un corps fini. En particulier, à l'aide d'une méthode inspirée par un article d'Adamczewski et Cassaigne, nous donnerons une majoration générale de l'exposant d'irrationalité des séries algébriques. Nous illustrerons cette approche à l'aide de quelques exemples.
I shall dust off some work by Bohm, on arithmetical features of combinatory logic. The natural combinators for addition, multiplication, exponentiation and nihilation of Church satisfy some pleasing algebraic laws resembling those of ordinal arithmetic. But they also satisfy and some other ''wild'' laws (resembling nothing arithmetical) in virtue of which they are combinatorially complete. Because of that, they support a notion of logarithm (with respect to a ''base''). I may add some remarks on ''exponentiality'', which says that two ''numbers'' are the same if they have the same behaviour as exponents.
Tout le monde aime les automates cellulaires, tout le monde aime les fractales, et l'on sait bien que celles-ci peuvent être produits par ceux-là. Par exemple, le triangle de Sierpinski, comme il s'agit du triangle Pascal modulo 2, est le diagramme espace-temps limite d'un automate cellulaire correspondant à la relation C(n+1,k+1)=C(n,k)+C(n,k+1). Plus généralement, il est connu que si l'alphabet a une structure d'anneau commutatif et que l'automate cellulaire est un morphisme d'anneaux - on parle alors d'automate cellulaire linéaire - une structure fractale va émerger de ses diagrammes espace-temps. Remplaçons maintenant l'anneau par un simple groupe - non, pas un groupe simple, un simple groupe abélien fini. J'expliquerai pourquoi, à mon sens, c'est dans ce cas plus général qu'on devrait parler d'automate cellulaire linéaire, et non pas seulement dans le cas des anneaux comme on le fait habituellement ; et surtout, je tâcherai de faire comprendre pourquoi leurs diagrammes espace-temps ont aussi des propriétés fractales.
Le size-change termination principle'' est un test (correct mais forcément incomplet) pour décider la terminaison de programmes mutuellement récursifs. Ce test, dû à A. ben Amram, N.D. Jones et C.S. Lee est particulièrement simple et élégant, tout en étant relativement puissant et modulaire. Il s'agit essentiellement d'une opération de clôture transitive sur le graphe d'appels des fonctions et la preuve de correction repose sur le théorème de Ramsey infini. Quand le langage des définitions récursives est un langage avec constructeurs / destructeurs à la ML, il y a une notion naturelle de taille : le nombre de constructeurs dans une valeur. Dans ce contexte, on peut généraliser le test pour conserver plus d'information que la seule taille des arguments. Ceci permet notamment d'ignorer certains chemins du graphe d'appels qui ne correspondent à aucune suite concrète d'appels. Par contre, la preuve de correction du nouveau principe est plus complexe que l'originale. Après une rapide présentation du test original, je décrirais cette extension et donnerai certaines idées de la preuve de correction. Comme le test est implanté (en Caml) pour le langage PML, je donnerais également des exemples (etcontre exemples'') pour permettre de se faire une idée des définitions acceptées (et refusées).