Dans un espace métrique compact (X,d), l’ensemble A(x) des antipodes du point x est l’ensemble des maxima globaux de la fonction qui à un point y associe d(x,y). Si (X,d) est le plan projectif réel à courbure constante, alors pour tout x, A(x) est une courbe fermée. L’objet de cet exposé sera de montrer la réciproque : si sur une surface riemannienne lisse chaque point (diamétral) a un ensemble d’antipodes sans extrémités (par exemple une courbe fermée), alors il s’agit du plan projectif réel à courbure constante.
After a brief introduction of the concepts of Distributional Jacobians, we will define a Mumford-Shah energy for vector valued maps that generalizes the classical one. We will then introduce a family of approximating energy and prove a Gamma-convergence result, in the spirit of the previous works by Ambrosio and Tortorelli.
Cet exposé est consacré à la modélisation mathématique de quelques problèmes environnementaux, couvre des thématiques allant des vagues jusqu'aux avalanches de neige poudreuse et traite de différents aspects de la modélisation des tsunamis. Nous étudions toute la gamme des processus physiques de la génération, transformations d'énergie, propagation jusqu'à l'inondation des côtes. Nous verrons aussi différents aspects de la simulation numérique et de la modélisation d'inondation. Ces questions sont traitées par différentes approches: les équations de Saint-Venant, les équations de type de Boussinesq et le système de Navier-Stokes bi-fluide. Nous nous intéressons aussi à deux problèmes relevant principalement des écoulements multi-fluides, en particulier la justification formelle du modèle bifluide à quatre équations proposé avant pour la modélisation des écoulements aérés. Quelques résultats numériques présentés peuvent s'appliquer, par exemple, à la simulation numérique du déferlement. Nous proposons aussi un nouveau modèle pour les avalanches de neige poudreuse. Ce système est dérivé du Navier-Stokes bifluide classique et possède de bonnes propriétés qualitatives. Les simulations numériques d'interaction d'une avalanche avec obstacle sont présentées.
Les fonctions définissables des structures o-minimales polynomialement bornées satisfont une forme particulière de théorème de préparation. Nous montrons comment, si ces structures sont engendrées par des algèbres quasi-analytiques, rendre explicite ce résultat et en déduire une propriété d'élimination à la Tarski-Seidenberg.
A smooth complex plane quartic f(x,y,z) = 0 is classically known to have 28 bitangents, 36 linear symmetric determinantal representations and 63 representations as a sum of three squares of quadratic forms. We first review some of the beautiful relations that exists between these objects, and then explain the count in the case of quartics defined over the reals.
Les courbes frontières définissent les régions ou les formes du plan de manière compacte et descriptive. Il est bien connu que les formes doivent être étudiées à différentes échelles. Ceci a conduit au développement des pyramides régulières et irrégulières pour l'analyse des formes et la compréhension des scènes. Cependant, il n'existe pas une description analytique de la multi-résolution d'une forme numérique, contrairement au célèbre espace-échelle (scale-space) dans le monde continu. En outre, les primitives géométriques telles que les lignes, les cercles ou les polynômes ont une grande importance dans le contexte de la géométrie numérique. Les morceaux des droites numériques sont un bon moyen pour estimer les tangentes et les arcs discrets approchent la courbure. Il est donc nécessaire de les garder dans l'analyse multi-échelle des frontières numériques. Un des objectifs de cette thèse est de donner des nouveaux résultats analytiques sur la multi-résolution des droites 4-connexes et des segments de droites 4-connexes. Figueiredo est le premier qui a étudié le comportement des droites 8-connexes lors du changement de la résolution de la grille. Dans le présent travail, nous considérons une droite 4-connexe pour laquelle une description analytique est fournie lorsque la résolution de la grille est modifiée par un facteur arbitraire. En plus, nous montrons que leurs couvertures sont des droites 4-connexes. Comme les formules analytiques des segments de droite sont un problème beaucoup plus difficile, nous proposons un parcours indirect pour la multi-résolution d'un DSS en utilisant le fait qu'un segment est un morceau fini d'une droite discrète. Etant donné un DSS, nous construisons deux droites dont l'intersection le contient et dont la partie connexe principale a les mêmes caractéristiques arithmétiques, ainsi que le même nombre de motifs. Notons que nous proposons de nouveaux résultats combinatoires des intersections de droites. Nous déterminons la multi-résolution du segment en examinant la multi-résolution de l'intersection de ces deux droites. Nous donnons une nouvelle description analytique de cet ensemble avec les inégalités arithmétiques. Nous abordons également le problème du calcul des caractéristiques exactes d'un sous-segment d'une droite 4-connexe qui a des caractéristiques connues. Nous présentons deux nouveaux algorithmes SmartDSS et ReversedSmartDSS qui résolvent ce problème. Leur principe est de se déplacer dans l'arbre de Stern-Brocot de la fraction soit de manière haut-bas ou bas-haut. Dans le pire cas, leur complexité est meilleure que l'algorithme de reconnaissance DSS classique. Les deux algorithms peuvent dès lors servir à calculer efficacement la multi-résolution d'un segment. Les bruits tout au long des contours numériques ne sont pas vraiment détectés, mais plutôt annulés par l'épaississement des segments de droites 4-connexes. De plus, l'épaisseur est réglée par un utilisateur et aussi définie globalement pour le contour. Pour surmonter ce problème, nous proposons une stratégie originale pour détecter localement à la fois la quantité de bruit et les épaisseurs significatives de chaque point de contour. Ce travail se base sur les propriétés asymptotiques de segments flous d'épaisseurs différentes, et forme une alternative à l'approche multi-résolution de la détection du bruit.
La classe des mots C∞, ou facteurs lisses, est la classe des mots finis qui sont arbitrairement dérivables. Ils ont été défini par Dekking pour décrire l'ensemble des facteurs du fameux mot de Kolakoski, le mot infini point fixe du codage par plages. Nombre de conjectures sur le mot de Kolakoski et ses facteurs restent ouvertes. Nous introduisons une nouvelle représentation des mots C∞ basée sur un codage de ces mots sur un alphabet à trois lettres. Ceci permet de classifier les mots C∞ en classes d'équivalence. Ces classes d'équivalence peuvent être représentées sur un graphe infini dont nous étudions les propriétés. Nous démontrons que ce graphe peut être décrit inductivement par une fonction récursive dont la définition est totalement indépendante du contexte des mots C∞.
In this talk, we will present some recent results about the asymptotic stability of rarefaction waves for the compressible isentropic Navier-Stokes equations with density-dependent viscosity. Both cases will be dicussed. One is that the rarefaction waves do not include vacuum. The other is that the rarefaction waves contact with vacuum. The theory holds for large-amplitudes rarefaction waves and arbitrary initial perturbations. This is joint with Yi Wang and Zhouping Xin.
We prove that the maximum norm of the deformation tensor of velocity gradients controls the possible breakdown of smooth(strong) solutions for the 3-dimensional compressible Navier-Stokes equations, which will happen, for example, if the initial density is compactly supported cite{X1}. More precisely, if a solution of the compressible Navier-Stokes equations is initially regular and loses its regularity at some later time, then the loss of regularity implies the growth without bound of the deformation tensor as the critical time approaches. Our result is the same as Ponce's criterion for 3-dimensional incompressible Euler equations (cite{po}). Moreover, our method can be generalized to the full Compressible Navier-Stokes system which improve the previous results. In addition, initial vacuum states are allowed in our cases.
I shall give a brief introduction to the theory of contact structures and explain basic properties of the horizontal critical set for generic Morse functions.
This talk mainly concerns the mathematical justification of a viscous compressible multi-fluid model linked to the Baer-Nunziato model used by engineers, see for instance [M., Eyrolles (1975)]. More precisely, we show that some built approximate finite-energy weak solutions of the isentropic compressible Navier-Stokes equations converge, on a short time interval, to the strong solution of this viscous compressible multi-fluid model provided the initial density sequence is uniformly bounded with a corrresponding Young measure which is a linear convex combination of m Dirac measures.
It is well-known that one-dimensional isentropic gas dynamics has two elementary waves, i.e., shock wave and rarefaction wave. Among the two waves, only the rarefaction wave can be connected with vacuum. Given a rarefaction wave with one-side vacuum state to the compressible Euler equations, we can construct a sequence of solutions to one-dimensional compressible isentropic Navier-Stokes equations which converge to the above rarefaction wave with vacuum as the viscosity tends to zero. Moreover, the uniform convergence rate is obtained. The proof consists of a scaling argument and elementary energy analysis, based on the underlying rarefaction wave structures.
Nous nous intéressons à une classe de modèles de mouvements de foules en situation d’évacuation d’urgence basés sur les considérations suivantes : chaque personne souhaite optimiser sa propre trajectoire (en clair : sortir au plus vite du bâtiment), mais, dans le cas de situations congestionnées, le mou- vement est contraint par le simple fait que deux personnes ne peuvent pas être au même endroit au même moment. Nous présenterons une mise en équation microscopique de ces principes, où chaque personne est identifée à un disque rigide, et la vitesse effective instantanée est la projection du déplacement souhaité sur l’ensemble des vitesses admissibles, qui ne conduisent pas à un chevauchement des individus. Nous montrons que ce modèle peut s’interpréter comme un flot-gradient sur l’espace des degrés de liberté (pour une fonctionnelle d’insatisfaction définie comme la somme des insatisfactions individuelles). Nous proposerons ensuite une version macroscopique du modèle : la population est alors décrite par une densité assujettie à rester inférieure à une valeur fixée. La régularité de la vitesse effective n’étant pas contrôlée, les résultats classiques sur l’équation de transport d’une densité ne sont pas applicables. Nous montrerons comment le cadre de la métrique de Wasserstein sur les mesures (distance entre mesures associée au transport optimal) permet de redonner à ce modèle une structure de flot- gradient, de montrer l’existence d’une solution et suggère des pistes pour la simulation numérique de tels phénomènes.
B. Kerautret et J.-O. Lachaud ont proposé en 2009 un estimateur de bruit local sur les contours discrets 2D. Leur méthode consiste en une analyse multi-échelle des longueurs des segments maximaux en chaque point du contour. L'étude de la courbe du profil multi-échelle et la connaissance du comportement asymptotique de ces longueurs permettent, entre autre, de détecter du bruit en chaque point du contour ainsi que l'échelle significative. Nous proposons d'étendre cette méthode à la détection de bruit local sur les contours discrets tridimensionnels. Pour cela, nous nous orientons vers une analyse multi-échelle des plans discrets maximaux couvrant chaque point du contour. Nous choisissons dans un premier temps d'étudier le critère de l'aire discrète et nous espérons observer un comportement asymptotique caractéristique. Ces travaux sont actuellement en cours.