According to Shub and Smale's tau-conjecture, the number of integer roots of a univariate polynomial should be polynomially bounded in the size of the smallest (constant free) straight-line program computing it. This statement becomes provably false if one counts real roots instead of integer roots. I have proposed a real version of the tau-conjecture where the attention is restricted to straight-line programs of a special form: the sums of products of sparse polynomials. This conjecture implies that the permanent polynomial cannot be computed by polynomial-size arithmetic circuits. The complexity of the permanent in the arithmetic circuit model is a long standing open problem, which can be thought of as an algebraic version of P versus NP. In this talk I will present the real tau-conjecture and its consequence for the permanent. If time allows, I will introduce a new tool in this context: the Wronksian determinant. This leads to some modest progress on the real tau-conjecture, and to new bounds on the number of solutions of sparse systems of polynomial equations. The latter bounds seem to be of independent interest from the point of view of real algebraic geometry.
Dans un travail antérieur avec Damien Pous, on définit une sémantique pour CCS, qui peut être vue à la fois comme une sémantique de jeux non-déterministe et comme une sémantique de préfaisceaux innocents. Les résultats d'adéquation obtenus pour cette sémantique reposent sur le fait que les parties du jeu forment une catégorie fibrée, au sens de Grothendieck, au-dessus des positions. On s'attaque ici à poursuivre notre approche dans le cadre du pi-calcul. Or, s'il est facile de concevoir un jeu pour pi dans l'esprit de celui pour CCS, il est beaucoup moins évident que les parties sont fibrées au-dessus des positions. On montrera qu'elles le sont, en utilisant un outil catégorique bien connu: les systèmes de factorisation.
La croissance de bulles influence le type d'éruption volcanique et est à la base de l'étude du dégazage volcanique. Lors des éruptions effusives les bulles forment par coalescence un chemin vers la surface qui permet au gaz de s'échapper. Au contraire lors d'éruptions explosives les bulles de gaz n'ont vraisemblablement pas réussi former ce chemin. Dans un premier temps nous décrivons et étudions la croissance d'une bulle moyenne représentative par le couplage de deux e.d.o. et d'une e.d.p. Cette étude souligne les limites de cette modélisation microscopique. C'est pourquoi, ensuite, nous proposons une modélisation statistique qui décrit l'évolution d'une population de bulles de tailles différentes en interaction. Plusieurs problèmes sont a résoudre, comme la définition de l'interaction entre bulles, des taux de croissance et leurs simulations. Ces travaux sont le fruit d'une collaboration inter-disciplinaire dans le cadre de l'ERC DEMONS
Je vais présenter un travail en commun avec A. Chambert-Loir dans lequel nous développons, dans le cadre analytique p-adique, et plus précisément dans celui des espaces de Berkovich, un formalisme de type 'formes et courants' ressemblant à celui qui existe en géométrie complexe : nous définissons des formes de type (p,q), l'intégrale d'une forme de type (n,n) et l'intégrale de bord d'une forme de type (n-1,n) (où n est la dimension de l'espace ambiant) ; nous prouvons l'analogue de la formule de Stokes et de la formule de Poincaré-Lelong.... Nous utilisons de manière absolument cruciale une théorie des formes de type (p,q) sur R^n (que nous rapatrions ensuite dans le monde Berkovich) qui a été mise au point par Lagerberg avec des motivations tropicales ; je consacrerai une première partie de l'exposé à expliquer sa construction.
Le but de l'exposé est de faire une introduction élémentaire à l'exposé d'Antoine Ducros. Ainsi, guidé par un joli résultat de Sam Payne, nous commencerons tout d'abord par faire des rappels sur la géométrie et la topologie ultramétrique, puis nous introduirons les espaces de Berkovich et expliquerons ses liens avec la géométrie tropicale.
Il est en général indécidable de tester si une définition récursive est bien fondée, mais il existe de nombreux tests pour décider des conditions suffisantes pour la bonne fondation. Le principe du ``size-change'' de A. ben Amram, N.D. Jones et C.S. Lee est particulièrement simple (il s'agit simplement d'examiner certaines boucles dans le graphe d'appels des fonctions récursives), élégant (il repose sur le théorème de Ramsey) et puissant. C'est ce principe qui a été étendu et implanté dans le language PML. Les extensions vont dans deux directions : - autoriser la taille des arguments à augmenter localement, - utiliser la structure du langage (constructeurs / filtrage). Un point important est que ces extensions ne rendent pas le test plus compliqué à implanter.
En 1974, P. Deligne établit l'existence d'une filtration par le poids sur la cohomologie rationnelle des variétés algébriques complexes. Un analogue de cette filtration pour les variétés algébriques réelles a été introduit par Totaro en 2002. Dans un article publié en 2011, C.McCrory et A. Parusinski en enrichissent la compréhension, notamment en la réalisant par un certain complexe de chaînes filtré, possédant des propriétés que l'on peut lire sur la suite spectrale induite. Considérons maintenant des variétés algébriques réelles munies d'une action algébrique de groupe. La fonctorialité du complexe de poids nous permet de le munir d'une action induite. Ce complexe filtré de poids avec action est la première pierre d'une filtration par le poids équivariante pour les variétés algébriques réelles avec action. On établira différentes propriétés de ces objets équivariants, notamment dans le cas du groupe à deux éléments. On verra ainsi qu'un résultat de ``découpage'' sur les variétés Nash implique un analogue de la suite exacte courte de Smith tenant compte de la filtration, que l'on peut utiliser pour extraire d'une certaine suite spectrale des invariants additifs sur les variétés algébriques réelles munies d'une involution algébrique.
Attention : horaire inhabituel !
Dans certains matériaux lorsque les phénomènes de plasticité l'emportent, le comportement change assez fortement. Un exemple d'un tel changement apparaît lors d'expérience de cisaillement dans lequel le matériau verra son écoulement localisé dans une bande au lieu d'être uniforme dans tout l'échantillon. Dans cet exposé je présenterai une description mathématique de ce phénomène pour un modèle de fluide viscoplastique particulier: le modèle d'Arrhénius. Nous étudierons les bandes de cisaillement sous divers prisme afin de mieux comprendre pourquoi elles apparaissent et quelles formes elles peuvent prendre dans ce cas.
In a recent paper (Girard 2011b), Girard uses the geometry of interaction in the hyperfinite factor (Girard 2011a) in an innovative way to characterize complexity classes. The purpose of this paper is two-fold: to give a detailed explanation of both the choices and the motivations of Girard’s definitions, and – since Girard’s paper skips over some non-trivial details and only sketches one half of the proof – to provide a complete proof that co-NL can be characterized by an action of the group of finite permutations. We introduce as a technical tool the non-deterministic pointer machine, a concrete model that computes the algorithms represented in this setting.
In this talk we consider some stabilization problems for the wave equation with switching time-delay. We prove exponential stability results for appropriate damping coef- cients. The proof of the main results is based on D'Alembert formula, observability inequality and some energy estimates. More general and abstract problems, like the Petrovsky system, are also discussed.
Two subanalytic subsets of R^n are called s-equivalent at a common point P if the Hausdorff distance between their intersections with the sphere centered at P of radius r vanishes to order > s when r tends to 0. We proved that every s-equivalence class of a closed semianalytic set contains a semialgebraic representative of the same dimension. Results on approximation of subanalytic sets under suitable assumptions were obtained as well. (joint work with E.Fortuna, L.Wilson).
À venir
Cellular Automata can be characterized as the translation-invariant continuous functions, where continuity is with respect to a certain distance over the set of configurations. This distance, and its properties, easily extend from grids to Cayley graphs. As a consequence, Cellular Automata also extend from grids to Cayley graphs. Cayley graphs have a number of useful features: the ability to graphically represent finitely generated group elements and their equality; to name all vertices relative to a point; the fact that they have a well-defined notion of translation, and that they can be endowed with such a compact metric. But they are very regular. We propose a notion of graph associated to a language, which conserves or generalizes these features. These associated graphs can be arbitrary, although of a bounded degree. We extend Cellular Automata to these Generalized Cayley graphs, so that they define a local dynamics over time-varying graphs.
On définit une fonction qui à tout r-uplet de parties finies de Z^n associe un nombre entier positif ou nul. Cette fonction partage de nombreuses propriétés avec le volume mixte classique donnant une borne sur le nombre de solutions complexes de systèmes polynomiaux de polytopes de Newton donnés. On montre que notre volume mixte discrêt donne quant à lui une borne fine sur le nombre de solutions positives de systèmes polynomiaux tropicaux de supports donnés.
Dans le cadre de la réalisabilité classique telle qu'elle est introduite par Krivine, les réalisateurs |A| d'une formule A peuvent être vus comme des défenseurs de la formule face à une pile choisie parmi l'ensemble ||A|| de ses adversaires. Dans la continuité de cette interprétation, Krivine explique comment une formule arithmétique (∃xn, ∀yn, ... ∃x1, ∀y1 f(x, y)=0 ) peut être vue comme un jeu entre deux joueurs (∃ et ∀), un réalisateur étant alors une stratégie gagnante pour le jeu correspondant. Dans sa thèse, Guillermo montre que tout réalisateur universel est bien un stratégie gagnante. On montre ici que la réciproque est vraie : une stratégie gagnante est aussi un réalisateur universel. On s'intéresse ensuite à la relativisation des formules à différents types de données (et l'on montre qu'il existe dans le plus dur des jeux une stratégie gagnante valable pour toute formule vraie) et au lien entre formules d'atome f(x,y)=0 et f(x,y)<>0.
L'objectif de cet exposé est d'étudier la stabilité de couches limites fluides lorsque la viscosité tend vers 0. Nous montrerons comment des scalings différents permettent de passer des équations de Navier Stokes aux équations de Prandtl et à celles d'Orr Sommerfeld. Nous nous concentrerons ensuite sur l'étude spectrales de ces dernières pour présenter la construction de modes approchés instables de type Tollmien Schlichting. Nous montrerons que l'on s'attend à ce que tout flot de cisaillement soit instable.
Les automates cellulaires probabilistes ou non-déterministes sont souvent étudiés à travers des exemples ou aspects particuliers (alpha-asynchronisme, automates bruités, transitions locales probabilistes, etc). Nous proposons au contraire de les formaliser dans un modèle général qui se prête à une étude systématique. Partant de là nous abordons deux problématiques importantes largement développées dans la théorie des automates cellulaires déterministes : les simulations et l'universalité intrinsèque d'une part, la décidabilité des propriétés globales en fonction des descriptions locales d'autre part.
Dans cet exposé, nous proposerons d'abord un bilan des résultats connus sur les solutions non oscillantes de champs de vecteurs analytiques réels (i.e. des systèmes d'équations différentielles du 1er ordre) en lien avec la géométrie modérée (propriétés de finitude, structures o-minimales, corps de Hardy). Dans la deuxième partie, nous esquisserons deux résultats récents dans ce contexte: l'un en collaboration avec O. LeGal et P. Speissegger sur la dichotomie o-minimal/enlacement pour des systèmes d'équations différentielles linéaires; l'autre en collaboration avec O. LeGal et M. Matusinski sur la possibilité de trouver, pour des systèmes non-linéaires, des extensions du corps de Hardy des coefficients contenant certaines solutions.