On donne une condition géométrique nécessaire et suffisante sur un domaine borné arbitraire pour que l'opérateur divergence possède un inverse à droite continu dans des espaces de Lebesgue et de Sobolev à poids. On relie aussi cette question à des inégalités de Poincaré. On retrouve en particulier des résultats connus lorsque le domaine est lipschitzien ou plus généralement est un domaine de John.
Cette séance est consacrée au modèle booléen V^B de ZF, dont la construction est paramétrée par une algèbre de Boole complète B dans le modèle initial. Au programme: rappels de théorie des ensembles (classes et hiérarchie de Veblen), définition de la hiérarchie des B-ensembles, effondrement extensionnel, mélange de B-ensembles, principe du maximum et plénitude, conservation des propriétés Sigma_1, satisfaction des axiomes de ZFC.
Parmi les nombreuses structures ordonnées liées aux espaces topologiques, les treillis continus occupent une place importante. Ils constituent par exemple les espaces topologiques de Kolmogorov injectifs. Nous nous proposons ici de présenter ces treillis d'un point de vue algébrique au travers de la notion de monade et d'adjonction de Galois. La définition originelle d'espace topologique donnée par Hausdorff en 1914 apparaît alors de façon naturelle, et nous permet de jeter un regard neuf sur le résultat d'injectivité mentionné ci-dessus.
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Les courbes sur une variété sont apparues ces vingt dernières années comme un outil très efficace pour étudier les propriétés géométriques de la variété. On peut même, dans certains cas, déterminer complètement sa géométrie ; on obtient ainsi de nouvelles caractérisations des espaces projectifs et des quadriques lisses.
Given a semialgebraic set S, we study the ring B of polynomials that are bounded on S. The size of B can be seen as a measure for the ``compactness'' of S. In general, B is not a finitely generated R-algebra. In this talk, we will discuss necessary and sufficient conditions for B to be finitely generated. In particular, we show that B(S) is finitely generated if S is of dimension at most 2 and sufficiently regular. If time permits, we will also address some applications to certificates of positivity. (joint work with Claus Scheiderer)
La première difficulté en géométrie réelle consiste à définir un cadre de travail. On ne peut en effet se restreindre à l'étude d'objets lisses (ce serait exclure l'ensemble pourtant simple formé par l'union de deux droites concourantes), mais les objets singuliers peuvent s'avérer trop compliqués pour être étudiés avec les outils de géométrie différentielle classiques (tout fermé de Rn est l'intersection de deux variétés lisses). Nous verrons comment les structures o-minimales répondent à cette problématique, en évitant les « monstres », tout en gardant un niveau de généralité élevé. Nous parlerons ainsi, selon ce que le temps permet, de la géométrie modérée qu'elles définissent, des pathologies qu'elles autorisent, des liens qu'elles entretiennent avec la théorie des modèles, et des questions qui s'y posent.
TBA
The complete water wave problem remains a difficult task despite recent progresses in this field (Clamond & Grue, 2001). Its intrinsic complexity and stiffness prevent from efficient simulations in complex and large domains. Consequently, a number of approximative models have been proposed. In the present work we consider weakly nonlinear/weakly dispersive wave regime which is modelled by the family of Boussinesq type equations. Mathematically these models are expressed as dispersive nonlinear PDEs. In the present study we apply some finite volumes methods to these models. Our numerical schemes are tested on various practical problems. First, we consider some classical questions of soliton dynamics: solitary wave propagation, conservation of invariants, interactions, dispersive shock formation. A comparison with experiments on solitons head-on collision is performed (J. Hammack et al, 2004). Finally, we pay a lot of attention to the problem of the wave run-up onto a beach. This problem is very challenging from physical point of view (triple point) and numerical techniques have to treat wet/dry interface transition. Our algorithm is validated against experimental data of Synolakis and Zelt on breaking and nonbreaking solitary waves run-up onto a plane beach. This is a joint work with D. Dutykh and Th. Katsaounis.
Que peut-on dire du spectre de la somme $A+B$ de deux matrices hermitiennes si l'on ne connait que les spectres de $A$ et de $B$ ? Depuis 1912, cette question a été abordée tour à tour par des méthodes d'algèbre linéaire, de géométrie symplectique, de combinatoire, de géométrie immobilière, de géométrie algébrique, de théorie des représentations des groupes ou des carquois... Nous présenterons dans cet exposé l'interprétation de cette question en termes de théorie des représentations du groupe ${rm GL}_n({mathbb C})$. Ceci nous conduira à des généralisations naturelles et utiles. Nous présenterons ensuite les progrès récents permis par la géométrie algébrique.
Nous construisons une structure de modeles de Quillen pour la categorie des omega-categories strictes, a partir d'un ensemble de cofibrations generatrices et d'une classe d'equivalences faibles. Toute omega-categorie est fibrante par rapport a cette structure, alors que les omega-categories cofibrantes sont precisement les libres.
En Mécanique quantique relativiste, un électron soumis à l'action d'un champ électro-magnétique externe pourrait être déstabilisé par la puissance du champ magnétique. Dans cet exposé je présenterai des travaux sur la dépendance de la première valeur propre de l'opérateur de Dirac-Coulomb magnétique en fonction de la puissance du champ magnétique.Cette étude fait intervenir une méthode variationnelle non classique pour caractériser les valeurs propres d'un opérateur dans un gap du spectre continu.
Etant donné un germe de surface complexe à singularité isolée, son bord est une variété compacte de dimension 3 portant une orientation et une structure de contact canoniques. La théorie des déformations de la singularité fournit un nombre fini, à difféomorphismes près, de remplissages de Stein de ce bord de contact, les fibres de Milnor de la singularité. C'est un problème très largement ouvert de décrire ces fibres de Milnor parmi les remplissages de ce bord de contact. Je décrirai l'état de l'art concernant ce problème, et en particulier mes contributions faites en collaboration avec András Némethi.
Cet exposé est divisé en deux parties distinctes présentant deux sujets de recherche autour de la Logique Linéaire. Bien qu'abordés il y a longtemps, ces sujets présentent toujours des questions ouvertes intéressantes. L'exposé pose plus de questions qu'il ne donne de réponses.
Le premier sujet concerne la notion de structure en Logique Linéaire. De nombreuses extensions de la Logique Linéaires ont été proposées dans le passé pour introduire une forme de structure qui dépasse celle de multi-ensemble: logique cyclique, logique non commutative, calcul de Lambek non associatif (qui en fait prédate la Logique Linéaire)... Un cadre général, appelé ``Logiques Linéaires Colorées'', a été proposé pour capturer les mécanismes communs à toutes ces extensions, et permettant d'en construire d'autres à l'infini, respectant automatiquement les propriétés essentielles d'élimination de la Coupure et de focalisation (ce travail montre d'ailleurs que ces deux propriétés sont intimement liées). La question ouverte est de comprendre quels critères supplémentaires permettent de séparer, dans cette infinité potentielle de systèmes, le bon grain de l'ivraie, avec l'idée sous-jacente que la Logique devrait avoir un caractère de nécessité, et ne pas laisser place à l'arbitraire.
Le deuxième sujet concerne un paradigme de programmation fondé non pas sur la réduction des coupures dans les réseaux de preuves mais sur la construction de réseaux de preuves en Logique Linéaire. La construction de réseaux, comme la réduction, peut se faire en parallèle, mais, contrairement à la réduction, il y a des séquentialisations irréductibles, qu'exprime la nécessité de respecter le critère de correction. Le paradigme résultant est très proche de celui, plus pragmatique, des systèmes transactionnels, issus du monde des bases de données, mais dont les mécanismes sont aujourd'hui présents dans les couches intergicielles de toutes les grandes applications réparties. Un mécanisme de construction incrémental de réseaux de preuves a été proposé dans le passé dans le cadre du fragment strictement multiplicatif de la Logique Linéaire. Les questions ouvertes sont ici de savoir si ce mécanisme est optimal pour le fragment visé d'une part et d'autre part s'il peut être étendu à des fragments plus larges, voire au système complet.
Deuxième séance du groupe de lecture sur le livre de Kohlenbach ``Applied Proof Theory''.
Developing effective reasoning techniques for languages with higher- order constructs is a challenging problem, made even more challenging with the presence of concurrency and mobility. In this talk I will present a practical and effective reasoning methodology for such a language, which employs first-order reasoning and handles examples in a straightforward manner. There are two significant aspects to this theory. The first is that higher-order inputs are treated in a first- order manner, hence eliminating the need to reason about arbitrarily complicated higher-order contexts, or to use up-to context techniques, when establishing equivalences between processes. The second is that we use augmented processes to record directly the knowledge of the observer. This has the benefit of making ordinary first-order weak bisimulation fully abstract w.r.t. contextual equivalence. It also simplifies the handling of names, giving rise to a truly propositional Hennessy-Milner characterisation of higher-order contextual equivalence. I will illustrate the simplicity of the approach with example equivalences and inequivalences, and use it to show that contextual equivalence in a higher-order setting is a conservative extension of the first-order pi-calculus.