Les invariants de Welschinger sont des analogues réels d'invariants de Gromov-Witten de genre zéro. L'approche tropicale basée sur le théorème de correspondance de G. Mikhalkin permet de calculer les invariants de Welschinger dans un certain nombre de cas. En particulier, G. Mikhalkin a démontré des congruences modulo 4 pour les invariants de Welschinger des surfaces toriques de Del Pezzo. En utilisant l'approche tropicale, on établit des congruences modulo 4 pour les invariants de Welschinger du plan projectif éclaté en 4 ou 5 points réels (travail en commun avec V. Kharlamov et E. Shustin).
On montre comment trouver de façon naturelle des solutions à de nombreuses équations récursives en autorisant des boucles dans les arènes. On équipe ensuite les arènes de fonctions de gain et on s'intéresse aux stratégies totales et gagnantes. On présente alors deux fonctions de gain naturelles sur les arènes à boucles, qui premettent de construire respectivement des algèbres initiales et des coalgèbres finales à de nombreux endofoncteurs continus. Finalement on applique ces constructions pour donner un modèle correct (et complet, en un sens faible) d'un calcul des séquents intuitionniste, étendu par des constructions syntaxiques pour les plus petits et plus grands points fixes.
On considère un mélange d'espèces chimiques transportées par diffusion moléculaire et convection dans un capillaire. On sait depuis les années 50 qu'à ces deux mécanismes de déplacement s'ajoute celui de la dispersion, due à l'hétérogénéité des vitesses à l'échelle microscopique. Mais on utilise des modèles largement empiriques pour modéliser les effets dispersifs. Le but est de retrouver rigoureusement et explicitement les effets dispersifs, en utilisant l'approche par homogénéisation. On passe ainsi d'un modèle 3D convection-diffusion'' à l'échelle microscopique à un modèle 2Dconvection-diffusion-dispersion'' à l'échelle mésoscopique. On suppose de plus que les composants chimiques réagissent avec le bord du tuyau pour tenir compte de l'adsorption-désorption dans le modèle. On se place ainsi (par exemple) dans le cadre original dans lequel ces phénomènes ont été mis en relief : le transport des médicaments dans le réseau sanguin. Références: G.I. Taylor, Dispersion of soluble matter in solvent flowing slowly through a tube, Proc. Royal Soc. A, Vol. 219 (1953)
Une question naturelle en algèbre commutative consiste à savoir si l'anneau des coefficients d'un anneau de polynômes en une variable t est bien déterminé : autrement dit, si A et B sont deux anneaux tel que A[t]=B[t], est-il vrai que A=B ? Il est facile de se convaincre que cette simplification ne se produit pas en général, un contre-exemple géométrique typique étant fourni par le fait classique que le fibré tangent à la sphère réelle de dimension 2 est non trivial mais stablement trivial. La version géométrique de cette question dans le cas des variétés algébriques complexes affines se trouve être plus subtile. Dans cet exposé, je ferai un bref panorama des résultats généreaux connus et présenterai un contre-exemple obtenu avec des surfaces affines par Danielewski en 1989. Je donnerai quelques pistes permettant de construire des analogues en dimension supérieure. J'expliquerai ensuite comment ces types de contre-exemples peuvent intervenir dans la construction et l'étude de structures de variétés algébriques complexes exotiques sur les espaces affines euclidiens et certaines de leurs sous-variétés.
Le ruissellement sur les sols cultivés pose des problèmes de conservation des ressources environnementales. Les épisodes ruisselants sont aussi responsables de coulées boueuses pouvant affecter les biens et les personnes. Il est donc important de pouvoir prédire correctement la localisation des écoulements de surface. Dans cet exposé, je présenterai un modèle qui intègre dans un système de type Saint-Venant les effets des sillons qui conditionnent ces écoulements.
On s'intéresse aux équations de Navier-Stokes décrivant un écoulement de fluides visqueux autour d'un obstacle. Le domaine d'écoulement étant non borné, on chosit de poser le problème dans un cadre fonctionnel faisant intervenir des poids afin de décrire le comportement à l'infini des solutions. Pour tenir compte du sillage, des poids anisotropes sont considérés. Une première étape indispensable dans l'analyse est l'étude des équations d'Oseen qui sont une version linéarisée des équations de Navier-Stokes. Après avoir présenté les modèles, on s'intéressera aux problèmes d'existence et d'unicité.
L'optimisation de forme est l'étude des problèmes d'optimisation dont la variable est un domaine de R^d (on se restreindra au cas d=2). Je me concentrerai sur le cas où les formes admissibles sont demandées convexes. Cette contrainte géométrique rend l'analyse des conditions d'optimalité délicate. Je présenterai en première partie des conditions abstraites d'optimalité, que j'utiliserai pour exhiber une classe de fonctionnelle pour lesquelles on montre que les solutions de l'optimisation sont nécessairement polygonales (travail en collaboration avec A. Novruzi). Je m'intéresserai ensuite à l'optimisation de la seconde valeur propre du Laplacien, problème modèle qui fait ressortir des difficultés liées à la contrainte de convexité, et à la régularité des formes optimales. On montre que les formes optimales sont de classe C^{1,1/2} et pas mieux, pour ce problème. Je ferai le lien avec les EDP partiellement surdéterminées.
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Soit X une surface géométriquement rationnelle définie sur R et M une composante connexe de X(R). Le théorème de Comessatti (1914) affirme que si X est non-singulière et M orientable, alors M est une sphère ou un tore. Nous avons montré que si X admet des singularités Du Val et que M est un orbifold orientable, alors M est sphérique ou euclidien. Mais le cas non-orientable réservait une surprise : en effet lorsque X est minimale et non-singulière, M ne peut pas être de type hyperbolique (Comessatti encore). Nous avons construit un exemple singulier où X est minimale et M est de type hyperbolique. Ces résultats ont notamment des applications à la classification des variétés réelles de dimension 3 qui sont rationnellement connexes. (Travail en collaboration avec Fabrizio Catanese.)
After defining polynomial functors and introducing their calculus in terms of certain bridge diagrams, I will survey some examples related to logic: Girard's normal functors, Jay and Cockett's shapely types, the containers of Abbott, Altenkirch and Ghani, multicategories after Lambek, Burroni, and Leinster, and finally trees. (This talk is based on a paper in preparation with Nicola Gambino.)
L'analyse de la langue naturelle est toujours un problème ouvert au sens où il n'a pas à ce jour d'outils disponible resolvant ce problème (qui est pourtant fini si l'on considère que la longueur des phrases est bornées par la plus longue phrase de Proust). Certaines approches reposent sur des concepts théoriques avancés (automates, théorie des types, jusqu'à MELL ou IMELL dans certains articles). Est-ce la bonne approche ? Ou bien juste le fait que l'algorithme est trop complexe pour être écrit à la main ? On va montrer que dypgen (Emmanuel Onzon) permet d'aller assez loin, sans toutefois analyser le présent résumé, en utilisant juste une juxtaposition d'idées au dessus des techniques récentes de parsing pour les grammaires hors contexte. Note: je n'expliquerai pas ce qu'il y a sous le capot de dypgen ... Pour ça, il faudra inviter Emmanuel Onzon.
Cell migration is a highly integrated process where actin turnover, actomyosin contractility, and adhesion dynamics are all closely interlinked. The computational framework presented here aims to investigate the coupling between these fundamental processes. Two different applications of the model have been considered. First its relevance to describe cell migration and second its ability to predict the cell morphologies as observed on patterned substrata. In the model the cell membrane oscillations originating from the interaction between passive hydrostatic pressure and contractility are sufficient to lead to the formation of adhesion spots. Cell contractility then leads to the maturation of these adhesion spots into focal adhesions through integrins recruitment, which reciprocally stimulates reinforcement of the stress fibres. Due to active actin polymerization, which enhance protrusion at the leading edge, the traction force required for cell translocation can be generated. However, if the force is not strong enough, the maturation of the stress fibres allows to redistribute the forces throughout the cytoskeleton and the cell can thus recover a new stable shape. Numerical simulations first performed in the context of unstimulated cell migration, i.e. for a homogeneous and isotropic substratum, show that the model hypotheses are satisfactory to reproduce the main features of fibroblast cells migration as well as the well-known biphasic evolution of the cell migration speed as a function of the adhesion strength. In the context of patterned substrata, the numerical simulations allow to explain how the forces generated by the stress fibres of the virtual cells are regulated at the adhesion site through feedback mechanisms and how the competing stress fibres can generate an equilibrium state corresponding to a stable cell shape.
TBA
Après avoir rappelé des résultats classiques relatifs aux inégalités de type iso-périmétriques dans les problèmes de valeurs propres du laplacien, je présenterai quelques résultats numériques liés à ces problèmes. Dans un deuxième temps, je m'intéresserai plus en détail à un problème de partition optimale qui a reçu une attention particulière ces dernières années.
Dans cet exposé, nous nous intéressons à la forme optimale d'un tuyau (l'entrée et la sortie sont deux disques identiques fixés, et le volume est donné). On considère un fluide incompressible, régi par les équations de Navier-Stokes, avec des conditions au bord classiques sur la frontière du domaine (profil de vitesse imposé à l'entrée, conditions de non glissement sur la paroi latérale et une condition de pression en sortie). Nous sommes intéressés par le problème consistant à trouver la forme minimisant l'énergie ``dissipée'' par le fluide. En particulier, nous considérerons les questions suivantes : - Ce problème d'optimisation a-t-il une solution dans une classe raisonnable ? - Peut-on mettre en évidence des propriétés de symétrie pour l'optimum ? - Le cylindre est-il solution d'un tel problème ? Nous montrons que ça n'est pas le cas. Numériquement, nous exhibons des formes meilleures que le cylindre. Nous élargissons ces résultats au cas de l'arbre bronchique et tentons de retrouver numériquement sa forme en minimisant par rapport au domaine l'énergie dissipée par le fluide dans un arbre dichotomique, en 2D et 3D.
A monad with arities'' is a monad T on some category K together with some extra data expressing the basicshapes'' of the operations involved in the structure of a T-algebra. There is a general result, called the nerve theorem, which in the case where K is a presheaf category, shows that the notion of monad with arities is an efficient reformulation of the notion of limit sketch''. The nerve theorem is so named because it generalises the characterisation of the simplicial sets that arise as nerves of categories. Other interesting instances of this result relevant for higher dimensional algebra involvelocal right adjoint monads'' -- such a T comes with a canonical choice of arities. These examples formalise the passage between the operadic and simplicial approaches to higher category theory.