Après avoir rappelé des résultats classiques relatifs aux inégalités de type iso-périmétriques dans les problèmes de valeurs propres du laplacien, je présenterai quelques résultats numériques liés à ces problèmes. Dans un deuxième temps, je m'intéresserai plus en détail à un problème de partition optimale qui a reçu une attention particulière ces dernières années.
Dans cet exposé, nous nous intéressons à la forme optimale d'un tuyau (l'entrée et la sortie sont deux disques identiques fixés, et le volume est donné). On considère un fluide incompressible, régi par les équations de Navier-Stokes, avec des conditions au bord classiques sur la frontière du domaine (profil de vitesse imposé à l'entrée, conditions de non glissement sur la paroi latérale et une condition de pression en sortie). Nous sommes intéressés par le problème consistant à trouver la forme minimisant l'énergie ``dissipée'' par le fluide. En particulier, nous considérerons les questions suivantes : - Ce problème d'optimisation a-t-il une solution dans une classe raisonnable ? - Peut-on mettre en évidence des propriétés de symétrie pour l'optimum ? - Le cylindre est-il solution d'un tel problème ? Nous montrons que ça n'est pas le cas. Numériquement, nous exhibons des formes meilleures que le cylindre. Nous élargissons ces résultats au cas de l'arbre bronchique et tentons de retrouver numériquement sa forme en minimisant par rapport au domaine l'énergie dissipée par le fluide dans un arbre dichotomique, en 2D et 3D.
A monad with arities'' is a monad T on some category K together with some extra data expressing the basicshapes'' of the operations involved in the structure of a T-algebra. There is a general result, called the nerve theorem, which in the case where K is a presheaf category, shows that the notion of monad with arities is an efficient reformulation of the notion of limit sketch''. The nerve theorem is so named because it generalises the characterisation of the simplicial sets that arise as nerves of categories. Other interesting instances of this result relevant for higher dimensional algebra involvelocal right adjoint monads'' -- such a T comes with a canonical choice of arities. These examples formalise the passage between the operadic and simplicial approaches to higher category theory.
Cet exposé traite de l'utilisation du champ de phase comme méthode d'approximation de mouvements géométriques d'interfaces. Je commencerai par introduire ces méthodes dans le cadre du mouvement par courbure moyenne, où l'interface évolue de façon à minimiser le périmètre. Je m'intéresserai ensuite à la question de la conservation du volume, en présentant une méthode améliorant les résultats obtenus par les stratégies classiques. Puis je traiterai le cas du mouvement par courbure moyenne anisotrope, où l'interface évolue cette fois de façon à minimiser une énergie. Les stratégies actuelles conduisent à un opérateur non linéaire d'ordre deux difficile à traiter numériquement. Je présenterai une variante qui consiste à utiliser une approximation linéaire de cet opérateur dans la base de Fourier. Je terminerai l'exposé par une introduction aux curvelets, une base d'analyse multirésolution nouvelle génération introduite par Candes et Donoho dans les années 2000, et qui pourrait être une alternative à la base de Fourier dans le traitement d'anisotropies localisées.
Combien de points doubles (singularités A_1 ) peut avoir une surface algébrique complexe de degré d? D'après Miyaoka, ce nombre est asymptotiquement borné par 4/9 * d^3 , et Chmutov construisit des surfaces de degré d avec 5/12 * d^3 points doubles. Pour une surface algébrique réelle, on peut donner une meilleure borne sur le nombre de points doubles isolés : 5/12 * d^3 . Savoir si ces deux bornes supérieures (complexes et réelles) sont optimales est toujours un problème ouvert. Le but de cet exposé est d'expliquer la méthode de construction de Chmutov, et d'expliquer comment l'adapter pour construire des surfaces algébriques réelles avec 1/4 * d^3 points doubles isolés. J'expliquerai aussi pourquoi cette méthode ne peut donner de meilleur résultat. Ce travail est en commun avec Oliver Labs.
Parmi les nombreuses suites remarquables étudiées en combinatoire des mots figurent les suites sturmiennes. Elles interviennent dans plusieurs domaines: dynamique symbolique, géométrie discrète, astronomie, cristallographie, etc. Elles sont d'autant plus remarquables par le fait qu'elles possèdent plusieurs caractérisations équivalentes. Entre autres, elles décrivent les droites discrètes de pentes irrationnelles. Parmi ces droites, la classe des (demies) droites passant par l'origine, appelées des suites sturmiennes standards, admet une caractérisation supplémentaire: il est possible de les construire en utilisant la fermeture palindromique itérative. La fermeture palindromique d'un mot fini w consiste à trouver le mot palindromique le plus court ayant comme préfixe le mot w. La fermeture palindromique itérative d'un mot fini w, noté Pal(w), est définie par Pal(a)=a et Pal(w)=(Pal(w_0...w_{n-1})w_n)^+, où u^+ désigne la fermeture palindromique et a est une lettre de l'alphabet. Ainsi, à tout mot sur un alphabet à 2 lettres, on peut lui associer une suite sturmienne standard en appliquant l'opérateur de fermeture palindromique itérative. Plus récemment, cette notion a été généralisée à des pseudopalindromes, c'est-à-dire des mots restant stables non pas sous l'opération d'image miroir, mais plutôt sous l'action d'un antimorphisme involutif.
D'autre part, certaines suites points fixes sous un opérateur se sont révélées être bien mystérieuses; il suffit de penser au célèbre mot de Kolakoski K=221121221221121122... qui est le point fixe sous l'opérateur de codage par blocs (le mot est égal à ses longueurs de blocs de lettres: 2'' lettres 2,2'' lettres 1, 1'' lettre 2,1'' lettre 1, ...). Plusieurs propriétés combinatoires de ce mot sont encore inconnues: la fréquence des lettres, la récurrence des facteurs, la fermeture de l'ensemble de ses facteurs sous l'image miroir et la complémentation, etc.
Ainsi, avec D. Jamet et G. Richomme, nous nous sommes intéressés à l'étude des points fixes sous l'opérateur de fermeture pseudopalindromique itérative. Dans mon exposé, je vais présenter certains de nos résultats concernant les propriétés combinatoires de ces mots et faisant intervenir entre autres des développements en fractions continues et des morphismes. Je terminerai en proposant certains problèmes ouverts concernant l'algébricité de la ``pente'' de certains de ces points fixes et l'existence d'exposants critiques.
La peau est un milieu complexe qui peut être décrit, en première approximation, comme une fine structure multicouche. Dans l'exposé, je donnerai tout d'abord un aperçu des principaux tests expérimentaux qui sont couramment utilisés pour mesurer les propriétés mécaniques de la peau. Dans un deuxième temps, je discuterai certaines techniques non invasives utilisées aujourd'hui pour caractériser les détails anatomiques de la peau. Dans un troisième temps, j'illustrerai les modèles plus largement utilisés pour décrire la mécanique de la peau, avec un focus spécial sur les approches couplant simulation et expérience pour la caractérisation des propriétés biomécaniques des différentes couches dermiques. Exemples de la littératures et développement récents au sein des nos laboratoires seront discutés. La conclusion de l'exposé permet d'ouvrir des portes vers des domaines encore peu explorés: la modélisation multi-échelle et la mécanobiologie de la peau.
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Dans cet exposé, nous abordons différentes problématiques pour des fluides complexes dans des écoulements de faible épaisseur. Dans un premier temps, nous nous intéressons à des écoulements de fluides non-newtoniens décrits par la loi d'Oldroyd-B, qui prend en compte les effets élastiques. Dans le cas où l'épaisseur du domaine tend vers zéro, on trouve heuristiquement une équation limite pour le système Navier-Stokes/Oldroyd. Nous montrons la convergence rigoureuse du système vers l'équation limite, et donnons quelques résultats de régularité sur le système limite. Dans un deuxième temps, nous regardons des écoulements diphasiques en film mince. L'aspect diphasique est pris en compte par un modèle dit ''à interface diffuse'', le modèle de Cahn-Hilliard. Là aussi, un système limite est obtenu heuristiquement. Celui-ci est un système couplé entre une équation de Reynolds modifiée et une équation de Cahn-Hilliard. Nous nous consacrons à l'étude théorique de ce système, et nous exposons quelques résultats numériques.
Pour des problèmes généraux de contrôle optimal, on démontre que, s'il n'existe aucune trajectoire singulière minimisante, alors la fonction valeur associée est sous-analytique, mais perd cette propriété en général en présence de telles trajectoires (ces notions sont rappelées et discutées, ainsi que la validité et la pertinence de cette hypothèse). Ces résultats ont des conséquences dans les théories d'Hamilton-Jacobi et de stabilisation: on montre que la solution de viscosité de certaines classes d'équations d'Hamilton-Jacobi (de type eikonales généralisées) est sous-analytique, ce qui implique en particulier que l'ensemble des singularités de la solution de viscosité est une sous-variété stratifiée de codimension au moins un; on montre également des résultats généraux portant sur la stabilisation de systèmes de contrôle.
Cette série d'exposés, destinée à un large public, a pour but d'expliquer plusieurs résultats nouveaux obtenus en collaboration avec János Kollár (Princeton).
Dans ce troisième opus, nous étudierons les transformations de Cremona qui préservent la sphère. Nous prouverons que l'action de ces transformations sur la sphère est fortement transitive. Nous montrerons comment utiliser ce résultat pour en déduire un résultat de densité sur les surface non orientables.
L'ambition au terme de la série d'exposés est de montrer que l'action des transformations de Cremona sur les points réels des quadriques révèle toute la complexité des difféomorphismes de la sphère, du tore et de toutes les surfaces non orientables. Le résultat principal dit que si X est rationnelle, alors Aut(X), le groupe des automorphismes algébriques, est dense dans Diff(X), le groupe des difféomorphismes de X. Ces groupes sont notamment étudiés pour leurs propriétés dynamiques.
Un problème fondamental dans la comparaison de différents modèles du parallélisme et de la concurrence est celui de définir la notion de codage, ou de traduction. A ce jour, parmi toutes les notions universellement acceptées de codage entre modèles concurrents, il n'en existe aucune qui s'impose nettement sur les autres. Nous proposons d'étudier la notion de codage en partant de la vision du calcul comme réécriture, et en utilisant des notions venant de la théorie des catégories d'ordre supérieur et de la théorie des structures d'évenemments de Winskel.
Pure, or type-free, linear lambda calculus is Turing complete once reduction is considered as computation. We introduce modal impredicativity as a new form of impredicativity causing reduction to be problematic from a complexity point of view. Modal impredicativity occurs when, during reduction, a residual of a box b interacts with the body of another residual of b. Technically speaking, superlazy reduction is a new notion of reduction that allows to control modal impredicativity. More specifically, superlazy reduction replicates a box only when all its copies are opened. This makes the overall cost of reducing a (linear) lambda-term finite and predictable. Specifically, superlazy reduction applied to any pure proof nets takes primitive recursive time. Moreover, any primitive recursive function can be computed by a lambda-term via superlazy reduction.
Nous étudions les fibrations de Lefschetz réelles. Nous présentons des invariants de fibrations de Lefschetz réelles au dessus de D^2 ou S^2 n'ayant que des valeurs critiques réelles. Dans le cas où le genre des fibres est égal à 1 (elliptique), nous obtenons un objet combinatoire, appelé le diagramme de collier. En utilisant les diagrammes de collier nous obtenons une classification des fibrations de Lefschetz elliptiques réelles admettant une section réelle et dont toutes les valeurs critiques sont réelles. Nous définissons les diagrammes de collier raffinés pour les fibrations qui n'admettent pas de section réelle. Grâce aux diagrammes de collier, nous observons l'existence de quelques exemples intéressants.
Les inégalités matricielles linéaires généralisent les systèmes d'inégalités linéaires. Pour les résoudre il existent des méthodes numériques extrêmement efficaces. En même temps, des résultats récents de Helton, Nie et Vinnikov montrent que beaucoup des ensembles semi-algébriques convexes peuvent être définis par une inégalité matricielle linéaire sans ou avec variables additionnelles. Ceci est en forte contraste avec les systèmes d'inégalités linéaires qui définissent toujours un polyèdre. La seule condition nécessaire connue en ce moment pour un ensemble de s'écrire dans ce sens avec ou sans variables additionnelles est d'être respectivement semi-algébrique convexe ou rigidement convexe. Il semble même possible que ces conditions sont suffisantes. Cet exposé est une introduction au sujet avec des contributions modestes récemment obtenues en commun avec Tim Netzer et Daniel Plaumann.
Dans cet exposé, nous allons d’abord présenter les logiques modales plates de point fixe (flat modal fixpoint logics). Chaque logique de ce type est une extension de la logique modale K et, au même temps, un fragment du $\mu$-calcul modal propositionnel. Nous aborderons le problème de trouver, de façon uniforme, une axiomatisation de ces logiques qui soit complète par rapport à leur interprétation standard sur les modèles de Kripke.
Nous verrons comme certaines idées de l’algèbre, de la coalgèbre, et de la théorie des catégories, sont fondamentales pour notre but: la dualité, par la notion de modalité de couverture, les adjoints, avec la généralisation aux O-adjoints, les objets libres, la notion de point fixe constructif, les rétractés. Ainsi, nous serions en mesure de proposer une axiomatisation complète pour chaque logique plate de point fixe. (Travail en collaboration avec Yde Venema).
Nous nous intéresserons à deux problèmes de couplage fluide-structure mettant en jeu un fluide visqueux incompressible avec soit une membrane élastique, soit un solide rigide. Nous aborderons d'abord la question de la stabilité numérique pour le premier modèle, dans le cas d'une formulation Frontière Immergée + Level-Set. La mise en place de schémas implicites pour ce type de modèles étant très coûteuse, nous essayerons plutôt de comprendre quelles sont les causes de l'instabilité numérique pour des couplages explicites ou semi-implicites. Dans le cas du couplage fluide-solide rigide, nous présenterons une méthode de pénalisation, dans laquelle la vitesse rigide est calculée par projection, et pour laquelle un traitement implicite naturel du terme de pénalisation permet de satisfaire la contrainte de rigidité avec précision dans le solide.
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