Les travaux que je présenterai sont ceux effectués lors de ma thèse. Ils s'inscrivent dans le cadre de la géométrie discrète, une discipline ayant pour objectif de définir un cadre théorique pour transposer dans Z^n les bases de la géométrie euclidienne -- les notions discrètes définies étant le plus proche possible des notions continues que nous connaissons (telles que distance, droite, convexité, ...). De nombreuses études ont déjà été menées au sein de cette discipline, pour en définir l'espace de travail ainsi que les objets fondamentaux manipulés et en saisir leurs propriétés. Des algorithmes de reconnaissance pour ces primitives discrètes ont été développés et utilisés dans des problèmes comme la reconnaissance de formes, l'extraction de caractéristiques géométriques et bien d'autres encore. Néanmoins, la majorité des études ont été effectuées en se reposant sur la régularité des structures fondamentales de l'espace discret, souvent issues de définitions arithmétiques, et ces critères de régularité sont généralement essentiels aux différents algorithmes développés. Or, en pratique, les objets manipulés sont très souvent bruités par les méthodes d'acquisition (scanners, IRM, ...) qui suppriment ce caractère régulier des objets. Dans cet exposé, nous nous intéressons aux objets discrets 3D et proposons une primitive discrète, le morceau flou de plan discret, destinée à apporter plus de flexibilité dans les traitements, afin de concevoir des algorithmes capables de fournir des résultats satisfaisants aussi bien sur des objets réguliers que non réguliers. Avec l'emploi de cette nouvelle primitive discrète, nous définissons différents estimateurs de caractéristiques géométriques au bord d'objets discrets et montrons comment les utiliser dans des problèmes de segmentation et de polyédrisation d'objets discrets possiblement bruités.
Je vais vous présenter mes activités de recherche de thèse et de post-doc qui peuvent être regroupées sous le thème général de la modélisation géométrique et topologique. En particulier, je me suis intéressée au problème de la génération de maillages surfaciques et volumiques à partir d'images 3D multi-labels.
Dans cet exposé, j'essaierai de présenter les groupes d'automorphismes (ou difféomorphismes birationnels) de surfaces réelles et de décrire ceux qui ont une action très transitive sur les points de la surface. Les surfaces les plus importantes dans ce contexte sont les fibrations en coniques dont la partie réelle a un petit nombre de composantes connexes. Il s'agit d'un travail récent effectué en collaboration avec Frédéric Mangolte.
L'étude de la combinatoire des mots a mené à la caractérisation de nombreux langages. Certains admettent (ou sont fondés sur) une interprétation géométrique. En particulier, une condition nécessaire et suffisante à la convexité discrète s'énonce en termes de mots de Lyndon et de Christoffels. À partir de cette caractérisation, vient naturellement la notion de convexité minimale. Ces ``mots non-convexes minimaux'' possèdent une structure combinatoire particulière et sont reliés aux MLP (minimum length polygon).
L'axe médian est un outil de représentation d'objets binaires par ensemble de boules, et est couramment utilisé en analyse d'images. Soit (E,d) un espace métrique, et S une forme binaire incluse dans E. Une boule B (pour la distance d) est dite maximale dans S si elle est incluse dans S mais n'est incluse dans aucune autre boule incluse dans S. L'Axe Médian de S est défini comme l'ensemble des boules maximales de S [Blum 67, Pfaltz et Rosenfeld 67]. Nous présentons plusieurs nouveaux résultats concernant le calcul de l'axe médian, dans le cas de la géométrie discrète (E=Z^n), pour la distance euclidienne et les normes de chanfrein (discrétisation dans Z^n des jauges polyédrales). Nous procédons par recherche locale : nous donnons des caractérisations de voisinages de test suffisants pour calculer l'axe médian. Nous verrons comment ces voisinages dépendent de la distance considérée, ainsi que de l'épaisseur de la forme étudiée. En particulier, nous établissons des liens avec des outils bien connus de l'arithmétique, tels que les suites de Farey et le problème de Frobenius.
Soit X un variété irréductible et f ∈ k[X] une fonction régulière. On peut construire un variété Susp(X,f) de dimension dim X+1 dite une suspension. Cette construction conserve certaines propriétés de X. Comme application, on construit une suite de variétés affines X telles que le groupe des automorphismes algébriques Aut(X) agit sur reg X m-transitivement (travail en commun avec I. Arzhantsev et M. Zaidenberg).
Dans cette présentation, nous nous intéressons à la segmentation d'images, et plus particulièrement à la segmentation de catégories d'objets. Si les modèles d'apparence par sac-de-mots donnent à ce jour les meilleures performances en terme de classification d'images et de localisation d'objets, ils ne permettent pas de segmenter précisément les frontières des objets. Parallèlement, les modèles basés sur des champs de Markov (MRF) utilisés pour la segmentation d'images se basent essentiellement sur les frontières et permettent une régularisation spatiale, mais utilisent difficilement des contraintes globales liées aux objets, ce qui est indispensable lorsqu'on travaille avec des catégories d'objets dont l'apparence peut varier significativement d'une instance à l'autre. Nous verrons comment combiner ces deux approches. Notre approche comporte un mécanisme basé sur la détection d'objets par sac-de-mots qui produit une segmentation grossière des images, et simultanément, un second mécanisme, lui basé sur un MRF, produit des segmentations précises. Notre approche est validée sur plusieurs bases publiques de référence, contenant différentes classes d'objets en présence de fonds encombrés et présentant de larges changements de points de vue.
Je présenterai deux ordres que l'on peut définir sur les pavages: un premier basé sur la dérivée topologique (le rang de Cantor-Bendixson) et un second plus combinatoire basé sur les motifs que l'on peut trouver dans un pavage. Ces deux ordres, étudiés indépendamment, permettent d'obtenir des propriétés sur les ensembles de pavages. Nous verrons comment combiner les deux pour obtenir des résultats plus précis: sous l'hypothèse de n'avoir qu'une infinité dénombrable de pavages possibles nous arrivons à montrer qu'il existe des pavages n'ayant qu'une seule direction de périodicité; nous arrivons aussi à caractériser les ensembles de pavages ayant la cardinalité du continu.
We present some numerical methods to solve control problems in the coefficients where the cost functional may depend on the gradient of the state non linearly. The main difficulty comes from the fact that the relaxed functional cost is not explicitly known. We prove some convergence results just using an upper or a lower approximation of this relaxed functional.
We consider a control problem in the coefficients for an elliptic linear equation where the cost functional is non-linear in the gradient of the function state. The control variables are the coefficients of the diffusion matrix. This type of problems arises in Optimal Design of Composite Materials. It is well known that they have not a solution in general. Here we use the homogenization method to obtain a relaxed formulation.
Algebraic set theory was introduced by Joyal and Moerdijk in their book from 1995 and is an approach to the semantics of set theory based on categorical logic. One of its strengths is that it gives a uniform approach to set theories of different kinds (classical and constructive, predicative and impredicative). In addition, it allows one to capture different kinds of semantics (forcing, sheaves, boolean-valued models, realizability) in one common framework. In this talk, I will give an introduction to the subject, concentrating on main ideas rather than technical details.
Dans les cours précédents, nous avons construit le modèle booléen V^B de ZF et montré la satisfaction des axiomes de ZFC. Dans cette ultime séance de cours, nous allons nous intéresser aux cardinaux dans le modèle, et construire un modèle réfutant l'hypothèse du continu. Au programme: condition de (anti-)chaîne dénombrable, ensemble de conditions, forcing et modèles booléens, réels de Cohen.
Les automates cellulaires (AC) sont des systèmes dynamiques à temps et espace discret. Ils sont l'un des modèles formels les plus utilisés pour étudier des systèmes complexes. Bien que les applications concernent principalement les AC en dimension 2 ou supérieure, les études formelles ont été menées surtout en dimension 1. Dans cet exposé je présente des résultats sur la dynamique des AC en dimension 2. Ces résultats sont obtenus par deux constructions qui permettent de considerer un AC en dimension 2 comme un AC en dimension 1.
Normalization by Evaluation (NbE) is an abstract framework for computing the full normal form of lambda-terms through an interpreter, just-in-time compiler or an abstract machine. While computational equality such as beta is part of every dependent type theory, the status of extensional laws such as eta is less clear. The reason is that eta needs a typed equality but many type theories (like Pure Type Systems) are formulated with untyped equality in order to decide equality by rewriting.
In this talk, I am arguing that NbE is the tool of choice to implement typed beta-eta equality for dependent type theory. I present typed NbE which computes eta-long normal forms, and show how to construct a model of (possibly impredicative) type theory that proves the correctness of NbE. Hence, NbE can be used to decide the built-in (``definitional'') equality of type theory with eta-rules.
The aim of this work is to provide foundational justifications of powerful type theories with beta-eta equality, such as the Calculus of Inductive Constructions.
Les fibrés en tores au dessus du cercle sont classifiés par les difféomorphismes du tore sur lui-même. Si le difféomorphisme est hyperbolique, nous montrons qu'un tel fibré ne peut pas être plongé dans le lieu réel d'un fibré algébrique en surfaces rationnelles, ce qui réponds par l'affirmative à une conjecture de János Kollár. (Travail en collaboration avec Jean-Yves Welschinger.)
Ce travail se situe à l'interface entre l'analyse d'images, dont l'objectif est la description automatique du contenu visuel, et la géométrie discrète, qui est l'un des domaines dédiés au traitement des images numériques. Dans ce cadre, nous avons considéré les régions homogènes et porteuses de sens d'une image, avec l'objectif de représenter leur contour au moyen de modèles géométriques ou de les décrire à l'aide de mesures. Nous nous sommes concentrés sur trois modèles géométriques discrets définis par la discrétisation de Gauss : la partie convexe ou concave, l'arc de cercle discret et le segment de droite discrète. Nous avons élaboré des algorithmes dynamiques (mise à jour à la volée de la décision et du paramétrage), exacts (calculs en nombres entiers sans erreur d'approximation) et rapides (calculs simplifiés par l'exploitation de propriétés arithmétiques et complexité en temps linéaire) qui détectent ces modèles sur un contour. L'exécution de ces algorithmes le long d'un contour aboutit à des décompositions ou à des polygonalisations réversibles. De plus, nous avons défini des mesures de convexité, linéarité et circularité, qui servent à l'introduction de nouveaux modèles dotés d'un paramètre variant entre 0 et 1. Le paramètre est fixé à 1 quand on est sûr de la position du contour, mais fixé à une valeur inférieure quand le contour est susceptible d'avoir été déplacé par un bruit d'acquisition. Cette approche pragmatique permet de décomposer de manière robuste un contour en segments de droite ou en parties convexes et concaves.
Cette séance est consacrée au modèle booléen V^B de ZF, dont la construction est paramétrée par une algèbre de Boole complète B dans le modèle initial. Au programme: rappels de théorie des ensembles (classes et hiérarchie de Veblen), définition de la hiérarchie des B-ensembles, effondrement extensionnel, mélange de B-ensembles, principe du maximum et plénitude, conservation des propriétés Sigma_1, satisfaction des axiomes de ZFC.