Je présenterai ce qu'est une paramétrisation conforme d'une surface et son intérêt pour la géométrie discrète, en particulier la géométrie digitale, pour le plaquage de texture et le calcul des grandeurs géométriques d'une surface ou d'une courbe (normale, courbure...). Je discuterai de diffusion discrète, du laplacien discret dans le cadre des maillages et dans le cadre voxellique. La théorie de l'analyse conforme discrète qui est associée partage de nombreux points avec la théorie des surfaces de Riemann continue.
La simulation numérique des écoulements turbulents est délicate. En effet, lorsque le pas d'espace du maillage est plus grand que l'échelle dissipative, le maillage ne permet pas la représentation des plus petites échelles de l'écoulement réel. L'énergie transférée depuis les grandes échelles vers les petites échelles, par l'action des termes d'interaction non linéaires, n'est pas dissipée correctement. On constate alors une augmentation anormale de l'énergie au niveau des échelles qui correspondent à la taille de la maille de calcul. En conséquence, la réalisation d'une simulation numérique directe (résolution de toutes les échelles physiques sans modélisation de la turbulence) pour des écoulements caractérisés par un nombre de Reynolds élevé est très coûteuse en ressources informatiques. Plusieurs méthodes ont été développées pour permettre la simulation numérique de tels écoulements. La méthode multi-niveaux que nous proposons consiste à appliquer un traitement spécifique à chaque échelle, en considérant les propriétés physiques de l'écoulement. La décomposition des échelles du champ de vitesse est utilisée pour imposer une décroissance correcte du spectre d'énergie. La dynamique des grandes échelles est améliorée par le contrôle de l'accumulation de l'énergie sur les modes élevés.
Les nœuds isotopes sont cobordants, mais la réciproque est fausse en général. Dans un premier temps nous redonnerons les définitions et propriétés élémentaire utiles à l'étude du cobordisme des nœuds fibrés. Ensuite, après avoir expliqué les classifications connues des nœuds fibrés à cobordisme près, nous étudierons en détails les classes de cobordisme de certaines singularités.
Les automates cellulaires ont cette riche dualité de pouvoir être à la fois considérés comme des systèmes dynamiques à temps et espace discret et comme des objets combinatoires simples proches des modèles de calcul de type machine. Cette dualité permet d'établir facilement des résultats de calculabilité et de complexité concernant la dynamique de ces objets. Dans cet exposé, nous abordons une propriété dynamique élémentaire : l'existence d'une période temporelle commune à toutes les configurations du système. Sans surprise, nous établissons l'indécidabilité de cette propriété. Pour établir ce résultat, les outils maintenant classiques liant pavages et automates cellulaires ne fonctionnent pas. C'est donc l'occasion d'exhiber de nouveaux outils adaptés et de redécouvrir d'anciens résultats sur les machines de Turing. Nous aborderons les notions de mortalité et de périodicité dans ce modèle de calcul, l'art et la manière de programmer dans un cadre réversible et nous montrons que le problème de l'immortalité des machines de Turing reste indécidable dans le cadre réversible. Ces travaux sont issus d'une collaboration avec J. Kari (Univ. Turku, Finlande)
Cet exposé commence par la présentation rapide de la règle Minorité stochastique et de ses particuliarités. Ensuite, je présenterai une application de cette règle pour modéliser la formation de quasi-cristaux.
Considérons un graphe où chaque sommet reçoit la couleur noire ou blanche. Une arête contient une erreur si elle relie deux sommets de la même couleur. Minorité est une dynamique stochastique minimisant rapidement l'énergie. Sous cette dynamique, un sommet, chosi aléatoirement et uniformément parmi l'ensemble des sommets, peut changer d'état si au moins la moitié des arêtes qui lui sont adjacentes sont erronées. Cette dynamique est sensible à la topologie du graphe et son analyse fine s'est révélée compliquée.
En physique, dans les annnées 70, il était conjecturé que toutes les structures ordonnées soient périodiques. En 1984, un contre-matériaux fût découvert et reçu le nom de quasi-cristal. Dès 1974, Penrose avait présenté un structure théorique ordonnée et apériodique. Le but de notre projet est de présenter un modèle pour expliquer la formation d'une telle structure. Pour cela, nous considérons le modèle des pavages par coupe et projection (qui contient le pavage de Penrose). En définissant une notion d'erreur et d'énergie sur ces pavages, la règle Minorité procédant par flips permet de converger rapidement expérimentalement vers une structure ordonnée qui selon la famille de pavages par coupe et projection considérée est soit périodique, soit apériodique. Je présenterai nos résultats expérimentaux ainsi que notre analyse de cette dynamique pour les pavages 2 vers 1 (mots sur deux lettres).
Les systèmes d'acquisition de données image en deux ou trois dimensions fournissent généralement des données organisées sur une grille régulière, appelées données discrètes. Que ce soit pour la visualisation ou l'extraction de mesures, la géométrie discrète définit les outils mathématiques et géométriques pour de nombreuses applications. Dans cet exposé, je présenterai comment adapter divers algorithmes de la géométrie discrète aux grilles irrégulières isothétiques. Ce modèle de grille permet de représenter de manière générique les structurations d'images en pixels ou voxels de taille et de position variables : les grilles anisotropes, très répandues en imagerie médicale, les décompositions hiérarchiques telles que quadtree/octree, les techniques de compression comme le run length encoding, etc. Plus précisément, je présenterai l'extension à cette représentation de plusieurs méthodologies largement étudiées pour analyser les formes discrètes: la reconstruction d'objets binaires complexes, la transformée en distance et l'extraction d'un axe médian. Je montrerai enfin comment ces outils sont employés dans diverses applications : la distinction de caractères ambigus dans un outil de reconnaissance de plaques minéralogiques, l'approximation dynamique de courbes implicites planaires et l'analyse d'objets discrets bruités.
On donne une condition géométrique nécessaire et suffisante sur un domaine borné arbitraire pour que l'opérateur divergence possède un inverse à droite continu dans des espaces de Lebesgue et de Sobolev à poids. On relie aussi cette question à des inégalités de Poincaré. On retrouve en particulier des résultats connus lorsque le domaine est lipschitzien ou plus généralement est un domaine de John.
Cette séance est consacrée au modèle booléen V^B de ZF, dont la construction est paramétrée par une algèbre de Boole complète B dans le modèle initial. Au programme: rappels de théorie des ensembles (classes et hiérarchie de Veblen), définition de la hiérarchie des B-ensembles, effondrement extensionnel, mélange de B-ensembles, principe du maximum et plénitude, conservation des propriétés Sigma_1, satisfaction des axiomes de ZFC.
Parmi les nombreuses structures ordonnées liées aux espaces topologiques, les treillis continus occupent une place importante. Ils constituent par exemple les espaces topologiques de Kolmogorov injectifs. Nous nous proposons ici de présenter ces treillis d'un point de vue algébrique au travers de la notion de monade et d'adjonction de Galois. La définition originelle d'espace topologique donnée par Hausdorff en 1914 apparaît alors de façon naturelle, et nous permet de jeter un regard neuf sur le résultat d'injectivité mentionné ci-dessus.
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Les courbes sur une variété sont apparues ces vingt dernières années comme un outil très efficace pour étudier les propriétés géométriques de la variété. On peut même, dans certains cas, déterminer complètement sa géométrie ; on obtient ainsi de nouvelles caractérisations des espaces projectifs et des quadriques lisses.
Given a semialgebraic set S, we study the ring B of polynomials that are bounded on S. The size of B can be seen as a measure for the ``compactness'' of S. In general, B is not a finitely generated R-algebra. In this talk, we will discuss necessary and sufficient conditions for B to be finitely generated. In particular, we show that B(S) is finitely generated if S is of dimension at most 2 and sufficiently regular. If time permits, we will also address some applications to certificates of positivity. (joint work with Claus Scheiderer)
La première difficulté en géométrie réelle consiste à définir un cadre de travail. On ne peut en effet se restreindre à l'étude d'objets lisses (ce serait exclure l'ensemble pourtant simple formé par l'union de deux droites concourantes), mais les objets singuliers peuvent s'avérer trop compliqués pour être étudiés avec les outils de géométrie différentielle classiques (tout fermé de Rn est l'intersection de deux variétés lisses). Nous verrons comment les structures o-minimales répondent à cette problématique, en évitant les « monstres », tout en gardant un niveau de généralité élevé. Nous parlerons ainsi, selon ce que le temps permet, de la géométrie modérée qu'elles définissent, des pathologies qu'elles autorisent, des liens qu'elles entretiennent avec la théorie des modèles, et des questions qui s'y posent.
TBA
The complete water wave problem remains a difficult task despite recent progresses in this field (Clamond & Grue, 2001). Its intrinsic complexity and stiffness prevent from efficient simulations in complex and large domains. Consequently, a number of approximative models have been proposed. In the present work we consider weakly nonlinear/weakly dispersive wave regime which is modelled by the family of Boussinesq type equations. Mathematically these models are expressed as dispersive nonlinear PDEs. In the present study we apply some finite volumes methods to these models. Our numerical schemes are tested on various practical problems. First, we consider some classical questions of soliton dynamics: solitary wave propagation, conservation of invariants, interactions, dispersive shock formation. A comparison with experiments on solitons head-on collision is performed (J. Hammack et al, 2004). Finally, we pay a lot of attention to the problem of the wave run-up onto a beach. This problem is very challenging from physical point of view (triple point) and numerical techniques have to treat wet/dry interface transition. Our algorithm is validated against experimental data of Synolakis and Zelt on breaking and nonbreaking solitary waves run-up onto a plane beach. This is a joint work with D. Dutykh and Th. Katsaounis.
Que peut-on dire du spectre de la somme $A+B$ de deux matrices hermitiennes si l'on ne connait que les spectres de $A$ et de $B$ ? Depuis 1912, cette question a été abordée tour à tour par des méthodes d'algèbre linéaire, de géométrie symplectique, de combinatoire, de géométrie immobilière, de géométrie algébrique, de théorie des représentations des groupes ou des carquois... Nous présenterons dans cet exposé l'interprétation de cette question en termes de théorie des représentations du groupe ${rm GL}_n({mathbb C})$. Ceci nous conduira à des généralisations naturelles et utiles. Nous présenterons ensuite les progrès récents permis par la géométrie algébrique.
Nous construisons une structure de modeles de Quillen pour la categorie des omega-categories strictes, a partir d'un ensemble de cofibrations generatrices et d'une classe d'equivalences faibles. Toute omega-categorie est fibrante par rapport a cette structure, alors que les omega-categories cofibrantes sont precisement les libres.