School : 20 - 22 October 2008 + Workshop : 23 & 24 October 2008
Je dirai où en est PML, notamment, l'algorithme de typage et le proof-checking. Je montrerai les premiers exemples de programmes prouvés en PML.
Cette série d'exposés, destinée à un large public, a pour but d'expliquer plusieurs résultats nouveaux obtenus en collaboration avec János Kollár (Princeton).
Ce deuxième opus sera dédié à l'action des transformations de Cremona sur les surfaces non orientables. On y apprendra notamment comment un éclatement transforme la topologie d'une surface et comment on peut agir algébriquement sur le mapping class group d'une surface non orientable.
L'ambition au terme de la série d'exposés est de montrer que l'action des transformations de Cremona sur les points réels des quadriques révèle toute la complexité des difféomorphismes de la sphère, du tore et de toutes les surfaces non orientables. Le résultat principal dit que si X est rationnelle, alors Aut(X), le groupe des automorphismes algébriques, est dense dans Diff(X), le groupe des difféomorphismes de X. Ces groupes sont notamment étudiés pour leurs propriétés dynamiques.
Le nombre de Picard \rho d’une surface lisse S est le rang du groupe engendré par les diviseurs modulo équivalence numérique. Ce nombre est borné par h^{1,1}(S) ; quand \rho=h^{1,1}(S), la surface S est dite « singulière » (terminologie due à Shioda). Les exemples de surfaces « singulières » sont usuellement obtenus à partir de surfaces possédant des symétries et contenant beaucoup de courbes rationnelles (par exemple, (-2)-courbes ou bien droites dans le cas d’une hypersurface). Une surface de Fano est une surface de type général qui paramètre les droites d’un solide cubique. Dans cet exposé, on construit des surfaces de Fano « singulières » contenant beaucoup de courbes elliptiques. L’étude des courbes elliptiques d’une surface de Fano S est initialement motivée par le problème de l’amplitude du fibré cotangent de S, nous expliquerons cet aspect. Nous illustrerons cet exposé par l’exemple de la surface de Fano du solide cubique:
x_1^3+....+x_5^3=0 ,
unique surface de Fano contenant 30 courbes elliptiques.
A une courbe irréductible dans le plan projectif, on peut associer son complément, qui est une surface affine. Si deux courbes sont projectivement équivalentes, i.e. s'il existe un automorphisme du plan qui envoie l'une sur l'autre, les complémentaires sont évidemment isomorphes. En 1984, Hisao Yoshihara conjecturait la réciproque. J'essaierai de présenter cette conjecture, ainsi que les nombreux cas où elle a été démontrée. Puis je donnerai un contre-exemple à la conjecture, à l'aide de courbes de degré 39 bien particulières.
The aim of this talk is to present the problem of enumerating terms in untyped lambda calculus. The very first idea was to compute the asymptotic density of strongly normalizing closed lambda terms among all closed terms of a given size. However, the preliminary task of counting lambda terms turned out to be already non-trivial and challenging and this is therefore as the main theme. I will show recent results which were obtained due to cooperation between universities in Chambery, Versailles and Krakow.
Les sémantiques de jeux ont été introduites pour capturer le comportement interactif des preuves en interprétant les formules par des jeux sur lesquels les preuves induisent des stratégies. L'une des difficultés majeures lors de la définition de telles sémantiques, est de les rendre précises, c'est-à-dire de caractériser les stratégies définissables, qui sont l'interprétation d'une preuve (ou d'un programme par la correspondance de Curry-Howard). L'extension des caractérisations habituelles à des langages de programmation comportant des constructions concurrentes nécessite de repenser en profondeur les définitions habituelles de sémantique des jeux, en menant une analyse fine de la structure dépendances entre les coups dans les stratégies. Nous présentons ici deux approches axiomatiques pour décrire cette structure : l'une externe, fondée sur la présence de certaines tuiles de permutation de coups dans les stratégies, l'autre interne, décrivant la catégorie des stratégies comme une structure algébrique libre.
Dans divers domaines d'application on cherche à calculer la force verticale exercée par un fluide sur un solide se translatant parallèlement au sol. Les enjeux sont à la fois théoriques et numériques. Sur le plan théorique, il s'agit de résoudre les équations de Navier Stokes stationnaires dans un domaine non borné avec conditions aux bords sur le solide. Sur le plan numérique, on cherche des conditions aux bords pour les calculs qui sont effectués sur des domaines bornés. Je présenterai différentes attaques de ces problèmes à l'aide de méthodes variationnelles et de méthodes constructives basées sur la transformation de Fourier.
The main purpose of the tsunami generation modelling is to provide an initial condition for various long wave propagation numerical codes. This research topic is substantially underexplored since it is situated on the cross-section of several disciplines such as seismology, hydrodynamics and geophysics. We will begin this presentation by describing classical techniques and mathematical tools currently used to construct the initial condition. Then, we will discuss some shortcomings of traditional approaches. To overcome them, state of the art methods will be introduced. Finally, very recent results on the mud layer influence will be presented.
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La tomographie d’impédance électrique est une technique très utilisée en imagerie médicale, car c’est un outil de diagnostic peu onéreux, portable, qui permet de suivre en temps réel l’évolution fonctionnelle de tissus biologiques. Cependant, la résolution spatiale des images obtenues n’est pas très fine : c’est une conséquence du caractère mal posé des problèmes inverses. L’amélioration de la reconstruction requiert la prise en compte d’information supplémentaire sur la constitution du milieu à imager. Dans cet esprit, de nombreux travaux récents se sont intéressés au problème de la détection d’inhomogénéités de petite taille plongées dans un milieu de référence aux propriétés connues. Des méthodes de reconstruction stables et efficaces ont été proposées dans ce contexte. Dans le cas d’un milieu quelconque, notre idée est de perturber les mesures électriques en créant des inhomogénéités de petite taille, à l’aide d’ondes ultrasonores focalisées à l’intèrieur du milieu. En supposant que le changement de la conductivité du à la perturbation est proportionnel à la valeur locale de la conductivité, nous montrons que la résolution du problème inverse de détermination de la conductivité se ramène à la résolution d’une EDP non-linéaire. Nous présentons des résultats numériques de reconstruction par cette technique.
Given integers m and c satisfying m-2 >= c >= 2, we explicitly construct a nonsingular m-dimensional algebraic subset of P^{m+c}(R) that is not isotopic to the set of real points of any nonsingular complex algebraic subset of P^{m+c}(C) defined over R. The first examples of this type were obtained by Akbulut and King in a more complicated and nonconstructive way, and only for certain large integers m and c.
Au début des années 60, Wang a introduit un modèle de pavage du plan à l'aide de tuiles orientées de taille unitaire aux bords colorées pour résoudre des problèmes de logique. Ce modèle a été montré Turing-équivalent par Berger qui montra qu'un jeu de tuiles pouvait simuler une machine de Turing. Nous nous intéressons a la calculabilité de ce modèle en introduisant des outils sur les pavages permettant d'obtenir des résultats plus généraux sur les jeux de tuiles. A l'aide de notions de simulation, nous obtenons une première approche de l'universalité puis, nous montrons quelques uns des théorèmes fondamentaux de la calculabilité (Kleene, Rice...), dans le cadre des pavages, toujours relativement à certaines notions de simulation. Ces résultats nous permettront d'obtenir dans un premier temps de nouvelles preuves sur des théorèmes classiques des pavages et dans un deuxième temps de construire un cadre de construction de jeux de tuiles apériodiques.
Cette série d'exposés, destinée à un large public, a pour but d'expliquer plusieurs résultats nouveaux obtenus en collaboration avec János Kollár (Princeton).
Ce premier opus sera centré sur les motivations et les résultats dont les énoncés n'appellent pas, ou peu, de technique. On m'a suggéré comme titre « Géométrie algébrique pour les nuls », mais cela m'a semblé trop ambitieux. Nous nous intéresserons aux approximations des applications continues par des applications rationnelles (penser au théorème de densité de Weierstrass sur les polynômes) de la sphère et du tore. Ensuite, nous verrons comment cette question d'approximation change radicalement quand on exige des applications continues (resp. rationnelles) de posséder une réciproque continue (resp. rationnelle).
L'ambition au terme de la série d'exposés est de montrer que l'action des transformations de Cremona sur les points réels des quadriques révèle toute la complexité des difféomorphismes de la sphère, du tore et de toutes les surfaces non orientables. Le résultat principal dit que si X est rationnelle, alors Aut(X), le groupe des automorphismes algébriques, est dense dans Diff(X), le groupe des difféomorphismes de X. Ces groupes sont notamment étudiés pour leurs propriétés dynamiques.
Nous présenterons des modèles multi-échelles pour les fluides non- newtoniens, basés sur un couplage entre les équations de conservation macroscopiques, et des équations cinétiques pour décrire l'évolution des microstructures à l'échelle microscopique. Nous nous intéresserons en particulier aux fluides polymériques. Dans ce cas, les microstructures sont de longues chaînes carbonées, approximées (dans le modèle le plus simple) par deux billes reliées par un ressort (modèle des haltères). Une équation différentielle stochastique (EDS) régit l'évolution du vecteur ``bout-à-bout'' joignant une des billes à l'autre. La contribution des polymères au tenseur des contraintes s'obtient (en chaque point) comme une moyenne sur la conformation des polymères. Le système complet couple donc une équation aux dérivées partielles (EDP) pour l'évolution de la vitesse et de la pression, à des EDSs posées en chaque point du fluide. De nombreuses questions mathématiques et numériques se posent pour de tels systèmes : caractère bien posé, comportement en temps, convergence de méthodes de discrétisations couplant méthodes de Monte Carlo et méthode des éléments finis, etc... Nous donnerons une revue des résultats les plus récents.
Un des objectifs en dynamique moléculaire est d'échantillonner des mesures de Boltzmann-Gibbs en grande dimension, pour calculer par moyenne statistique dans l'ensemble NVT des quantités macroscopiques (constantes de réactions chimiques, constantes de diffusion, etc...). Les méthodes numériques sont typiquement basées sur des limites ergodiques pour des processus de Markov solutions d'équations différentielles stochastiques. La difficulté provient de l'existence de puits de potentiel qui piègent les particules et ralentissent la convergence des méthodes trop naives. Nous présenterons une classe de méthodes adaptatives qui permettent d'explorer plus rapidement l'espace des configurations, en modifiant au cours du temps le potentiel vu par les particules (processus de Markov non-homogène et non-linéaire). Ces méthodes permettent d'obtenir en temps long des quantités importantes en pratique (loi d'une marginale associée à une variable lente du système). Nous proposerons une preuve de convergence de ces méthodes, basée sur des techniques d'entropie.
La transformation de Cremona de l'espace projectif de dimension 3 la plus simple est l'involution S : (x_0 : x_1 : x_2 : x_3) -> (1/x_0 : 1/x_1 : 1/x_2 : 1/x_3) qui est un homéomorphisme en dehors du tétraèdre (x_0x_1x_2x_3 = 0). En étudiant l'action de S sur les surfaces quadriques réelles, nous avons montré que S et ses conjuguées engendrent un sous-groupe dense de Homéo(S^2), le groupe des homéomorphismes de la sphère. Dans cet exposé, nous montrerons que ce résultat de densité s'étend au cas des surfaces non orientables et en particulier comment réaliser « algébriquement » le mapping class group de ces surfaces. Enfin nous expliquerons pourquoi il ne peut y avoir de résultat similaire pour les surfaces orientables de genre supérieur à 2. (Travail en collaboration avec J. Kollár.)
Dans cet exposé, nous commencerons par résumer les résultats connus sur les modèles classiques de piles de sable (SPM, IPM(k)) et sur quelques-unes de leurs extensions. Nous verrons que l'approche combinatoire a des limites, justifiant ainsi leur étude au travers d'un nouveau système dynamique discret, les automates de sable.
Nous définirons ce système, en rappelant en permanence les liens existant entre celui-ci et un autre système dynamique mieux connu, les automates cellulaires. Puis, après avoir rappelé quelques-une des propriétés basiques des automates de sable, nous définirons des propriétés dynamiques à l'aide d'une topologie compacte inspirée de celle utilisée pour l'étude des automates cellulaires.
Ces propriétés permettent une étude plus globale de la dynamique d'un modèle donné, avec des techniques topologiques puissantes. Nous verrons ainsi comment classer les automates selon leur ``chaoticité'', en s'inspirant de la classification pour les automates cellulaires 1D de Kůrka. Ces résultats permettent de souligner que les automates de sable sont un système intermédiaire entre les automates cellulaires de dimension d et d+1.
La logique linéaire s'interprète dans les espaces vectoriels, même si les exponentielles posent problème (on obtient des espaces de dimension infinie). Dans le cas fini, cette interprétation est malheureusement un peu dégénérée car l'interprétation d'une formule (un espace vectoriel) est isomorphe à celle de sa négation (l'espace des formes linéaire sur cet espace). Christine a récemment proposé une solution : en plus de l'espace vectoriel, on rajoute une notion de totalité. Typiquement, une fonction linéaire de A dans B est totale ssi elle envoie les vecteurs totaux sur des vecteurs totaux. Algébriquement parlant, la totalité est un sous-espace affine de l'espace vectoriel considéré.
Christine introduira tout ça avec un peu plus de détails, et expliquera comment obtenir un premier résultat de complétude : complétude d'un calcul booléen basé sur la traduction habituelle du type Bool => Bool dans la logique linéaire. Pierre poursuivra avec un second résultat toujours de complétude : complétude d'une logique linéaire sans exponentielles. (Ça, c'est si la preuve ne « devient » pas fausse d'ici là...)
Le premier résultat ne nécessite aucune connaissance en logique linéaire (si si, c'est vrai), et le second présuppose un modicum de logique linéaire pour comprendre le pourquoi (mais pas le comment). Des connaissances de base en algèbre linéaire sont nécessaires, mais rien de compliqué, et seulement en dimension finie.