Cet exposé sera constitué de deux parties portant sur des problèmes de mathématiques discrètes et utilisant des techniques de combinatoire des mots, de géométrie discrète et de pavages du plan.
Dans la première partie, nous présenterons une introduction aux techniques de la tomographie discrète. Ce domaine a pour objet la reconstruction de matrice à valeurs dans {0,1} connaissant un petit nombre de projections (les projections ou contraintes tomographiques sont des vecteurs donnant par exemple le nombre de 1 sur chaque ligne et le nombre de 1 sur chaque colonne). Nous présenterons l’algorithme de Ryser pour la reconstruction de matrices connaissant les projections verticale et horizontale, puis la reconstruction de polyominos horizontalement et verticalement convexes avec contraintes tomographiques. Les méthodes utilisées font appel à la géométrie discrète mais aussi à des réductions à 2-SAT. Enfin, nous aborderons des résultats récents sur la reconstruction de matrices avec périodicité et contraintes tomographiques.
Dans la deuxième partie, nous montrerons que la complexité d’un mot de coupures u dans un pavage régulier par un polyomino Q est égale à Pn(u)=(p+q-1)n +1, pour tout n > 0 où Pn(u) compte le nombre de facteurs distincts de longueur n du mot infini u et où le mot de contour du polyomino Q est donné par 2p segments horizontaux et 2q segments verticaux. Nous reviendrons dans cet exposé sur le théorème de Beauquier-Nivat donnant une caractérisation par mots de contour des polyominos qui pavent le plan par translations.
Nous prouvons que si on se fixe un entier n, la structure o-minimale engendrée par les sous-analytiques globaux d’arité n définit strictement moins d’ensembles que la structure de tous les ensembles sous-analytiques globaux. Pour se faire, nous prouvons que les fonctions analytiques restreintes de n-1 variables suffisent à décrire les ensembles sous-analytiques globaux d’arité n. Puis utilisant des argument de dénombrement et de troncation de séries formelles (semble-t-il assez généraux), nous prouvons qu’elles ne suffisent pas pour décrire certaines fonctions sous-analytiques de n variables. Ce résultat prouve, qu’en général, il faut s’attendre à une certaine transcendance de la famille des ensembles définissables d’arité n+1 par rapport à la famille des ensembles définissables d’arité n.
Le théorème de Hardt assure qu’une famille semi-algébrique d’ensembles sur un corps réel clos est semi-algébriquement topologiquement triviale au dessus des éléments d’une partition. Il s’agit là de démontrer que l’on peut construire une isotopie semi-algébrique réalisant une trivialisation (générique) bilipschitz.
Recently, Iwata, Kawasaki and Shigesada proposed a dynamical model for the growth and size distribution of multiple metastatic tumors [J. theor. Biol., 203, 177--186 (2000)], which is based on von Foerster’s equation from population dynamics. In the seminar we reformulate the model from a mathematical point of view and give an existence results using the method of characteristics and standard theory for linear integral equations. A dimensionless form of the model shows that it contains some interesting short and large-time asymptotics.
On va donner une étude locale des singularités isolées d’une fonction analytique complexe définie sur un espace analytique complexe réduit équidimentionel.
On construira un polyèdre (évanescent) sur la fibre régulière ("de la fibration de Milnor") et une application de cette fibre sur la fibre singulière qui envoie le polyèdre sur le point singulier et qui est un homéomorphisme en dehors de ce polyèdre.