Soit $(X, omega)$ une variété symplectique de dimension quatre équipée d’une involution antisymplectique $c_X$. Le lieu fixe de $c_X$ est une surface lagrangienne lisse notée $R X$. Soit $L$ une courbe lisse de $R X$ qui réalise $0$ dans $H_1 (R X ; /2)$. Je présenterai la construction d’invariants par déformation du quadruplet $(X, omega, c_X, L)$. Ces invariants sont obtenus en comptant avec signe les courbes $J$-holomorphes réelles qui réalisent une classe d’homologie donnée, passent par un nombre adéquat de points fixés et sont tangentes à $L$. Je discuterai ensuite plusieurs applications de ces résultats.
Comment caractériser les germes de fonctions indéfiniment différentiables qui sont entièrement déterminés, modulo un changement de variable lisse, par leur série de Taylor à l’origine, ou leur jet sur un fermé ? Dans le cas de germes à point critique isolé, le problème est parfaitement compris depuis les années 70 -- il s’agit en quelque sorte d’une variante "d’ordre infini" de la notion de jet suffisant (selon la terminologie de Thom) ou de détermination de germes (selon celle de Mather). Il en va autrement pour les singularités non isolées, où une caractérisation est connue seulement dans des cas très particuliers. On présentera un résultat sensiblement plus général.
Les invariants de Gromov-Witten peuvent être vus géométriquement comme les nombres de certaines courbes complexes ou pseudo-holomorphes de genre donné qui représentent une classe d’homologie donnée d’une variété donnée.
On étudie la croissance des invariants de Gromov-Witten GWnD de genre zéro du plan projectif P2k éclaté en k points, où D est une classe dans le deuxième groupe d’homologie de P2k. Sous des hypothèses naturelles sur D, on obtient l’asymptotique précise de la suite log GWnD.
Le but de l’exposé est de faire une introduction à la géométrie tropicale et de présenter ses applications à la géométrie énumérative réelle et complexe.
La géométrie tropicale est un domaine relativement nouveau de mathématiques qui a connu un progrès spectaculaire durant les cinq dernières années. L’apparition de la géométrie tropicale était motivée par ses liens multiples et profonds avec plusieurs branches de mathématiques. Une relation importante entre le monde complexe et le monde tropical est donnée par le théorème de correspondance de Mikhalkin. Ce théorème et la découverte par J.-Y. Welschinger d’un analogue réel des invariants de Gromov-Witten produisent des nouveaux résultats concernant le dénombrement de courbes rationnelles réelles.
On s’intéresse au système dynamique suivant : Soit P un polyèdre de R3, et un point (m, heta)inpartial{P}S2. Ce point se déplace dans le polyèdre en suivant une droite de direction heta jusqu’à rencontrer le bord où la trajectoire se réfléchit en suivant les lois de Descartes. On obtient ainsi une application de partial{P}S2 dans lui même.
Pour étudier cette application on code les trajectoires sur un alphabet fini, on obtient alors des mots infinis dont on étudie la complexité. On présentera, au cours de l’exposé les différentes estimations que l’on peut obtenir de cette fonction.
Un drapeau de Goursat est une chaîne Es < Es-1 <... < E1 < E0 = TM$ de sous-fibrés de l’espace tangent TM avec i = corang Ei et tels que les champs de vecteurs de Ei et leurs crochets de Lie engendrent Ei-1. Engel, Goursat, et Cartan ont étudié ces drapeaux et ont établi une forme normale pour eux aux points génériques de M.
Récemment, Kumpera, Ruiz, et Mormul ont découvert que les drapeaux de Goursat peuvent avoir des singularités et que leur nombre grandit exponentiellement avec le corang s.
Je donnerai les formes locales des 2-distributions vérifiant la condition de Goursat sur une variété de dimension n+2 et deux applications en dimensions 6 et 7.
On fournit une généralisation de la connexion de Levi-Civita aux lagrangiens quelconques même non homogènes.
En effet, Faddeev et Vershik ont étudié la géométrisation de la mécanique lagrangienne avec contrainte où le lagrangien est quadratique et la contrainte est linéaire, ils ont prouvé l’existence d’une connexion dont les géodésiques sont les trajectoires du système, i.e. les solutions de l’équation d’Euler-Lagrange.
On généralise ce résultat dans n’importe quel système mécanique avec contrainte, de plus on trouve que l’hamiltonien se conserve par transport parallèle.
Nous revisitons le problème de Plateau: étant donné une courbe fermée, trouver la surface d’aire minimale ayant cette courbe comme frontière. La question que nous voulons discuter à nouveau est comment reconstruire effectivement la surface d’aire minimale connaissant la frontière.
Appuyé sur le théorème de Pierre Ossian Bonnet (1867) affirmant qu’une surface est déterminée à un déplacement euclidien près par ses premières et secondes formes fondamentales, nous renonçons à exhiber une surface minimale par ses équations paramétriques. Nous préférons découvrir dans un premier temps ses deux formes fondamentales. C’est la base de notre nouvelle méthode qui résout le problème de calcul des variations suivant :
minimiser l’aire regardée comme une fonctionnelle des deux formes fondamentales en respectant les conditions de compatibilité de Gauss-Coddazzi. Nous montrerons que les multiplicateurs de Lagrange introduits pour respecter ces contraintes satisfont une équation aux dérivées partielles conjuguée, comme lorsqu’on applique le principe de Pontriagine en commande optimale.
Références :
[1] Meusnier, Ch., Mémoire sur la courbure des surfaces, Mém. pré. sav. étrangers, Ac. sci., 10, 1785.
[2] Gauss, K. F., Disquisitiones generales circa superficies curvas, Comm. Soc. Göttingen Bd 6, 1823-1827. English translation in General Investigations of Curved Surfaces, Raven Press, New York, 1965.
[3] Darboux, G., Leçons sur la Théorie Générale des Surfaces, 4 vol., Gauthier-Villars, Paris, 1887-1896.
[4] Do Carmo, M.P., Differential Geometry of Curve and Surfaces, Prentice-Hall International, London, 1976.
[5] Vallée, C.; Fortuné, D., Compatibility equations in shell theory, International Journal of Engineering Science, Vol. 34, N° 5, pp 495-499, 1996.
[6] Fokas, A. S.; Gelfand, I. M., A unified method for solving linear and nonlinear evolution equations and an application to integrable surfaces, the Gelfand Mathematical Seminars, pp 75-92, Birkhäuser, Boston, MA, 1996.
[7] Fokas, A. S.; Gelfand, I. M., Surfaces on Lie groups, on Lie algebras, and their integrability, Comm. Math. Phys., Vol. 177, N° 1, pp 203-220, 1996.
[8] Fokas, A. S.; Gelfand, I. M.; Finkel, F.; Liu Q. M., A formula for constructing infinitely many surfaces on Lie algebras and integrable equations, Selecta Math.(N.S.), Vol. 6, N° 4, pp 347-375, 2000.
[9] Finkel, F.; Fokas, A.S., A new immersion formula for surfaces on Lie algebras and integrable equations. Bäcklund and Darboux transformations, The geometry of solitons (Halifax, NS, 1999), pp 207-216, CRM Proc. Lecture Notes, 29, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001.
La méthode de Viro est à l’heure actuelle l’un des outils les plus puissants de construction de variétés algébriques réelles avec topologie prescrite.
Au cours de cet exposé, on décrira la version de la méthode de Viro pour les intersections completes et on expliquera comment le Cayley trick permet de relier cette version à la version originale pour les hypersurfaces.
Je parlerai des avancées récentes dans la classification topologique des variétés uniréglées réelles de dimension 3. En particulier, je donnerai la preuve de l’existence d’un modèle uniréglé pour toute somme connexe d’espaces lenticulaires. Ce résultat avait été conjecturé par J. Kollár. (Travail en collaboration avec J. Huisman).
Pour une courbe projective lisse complexe, le théorème de Clifford borne la dimension des systèmes linéaires spéciaux. On donne un équivalent du théorème de Clifford pour les courbes réelles. On regarde aussi les différents cas où il y a égalité dans l’inégalité de Clifford réelle.