La dérivée topologique est un outil récent introduit par Sokolowski et Zochowski pour l'optimisation de formes. Elle permet de mesurer la variation d'une fonctionnelle dépendant d'un domaine géométrique quand on crée une petite cavité à l'intérieur de ce domaine. On peut définir la dérivée topologique pour les fonctionnelles d'énergie de problèmes d'obstacles, y compris les problèmes de contact sans frottement en mécanique des solides. Nous présentons quelque résultats, essentiellement numériques, qui confirment le bien-fondé de l'utilisation de la dérivée topologique dans le cadre d'une méthode ``levelset'', pour l'optimisation de forme du problème de Signiorini.
Les codes identifiants ont été introduits pour modéliser un problème de détection de défaillances dans des réseaux multiprocesseurs [1]. C'est un sujet récent de théorie des graphes, qui, dans une de ses variantes, se définit comme suit : étant donné un graphe G=(V,E), un code t-identifiant de G est un sous-ensemble de sommets C de V tel que tout sous- ensemble d'au plus t sommets de G soit identifié de façon unique par la trace de C sur son voisinage fermé. Formellement, C est un code t-identifiant de G si et seulement si on a N[X]cap C neq N[Y]cap C pour toute paire (X, Y) de sous-ensembles distincts d'au plus t sommets de G, où N[X] désigne l'union de X et des voisins de X dans G. Ce sujet peut être vu comme un cas particulier de problème de couverture par tests sur un ensemble structuré. Les problèmes de couverture par tests sont une large classe de problèmes combinatoires, englobant le fameux problème des fausses pièces ou les jeux populaires de devinettes. Lorsqu'un tel code existe, le problème d'optimisation discrète sous-jacent consiste à déterminer un code t-identifiant de cardi- nalité minimum. Au niveau algorithmique, ce problème est NP- difficile [2] . Dans [1], des bornes générales sont données. On peut s'intéresser à l'aspect extrémal de ce problème, en particulier on peut étudier le problème suivant : étant donné un entier n, quels sont les graphes admettant un code t-identifiant de cardinalité minimum parmi les graphes à n sommets ? Dans cet exposé je vais présenter différentes approches pour aborder cette question de combinatoire extrémale. J'exposerai tout d'abord une approche probabiliste, utilisant la notion de graphe aléatoire, qui nous permet d'obtenir une borne supérieure proche de la borne inférieure générale de [1]. Ensuite, j'expose- rai les liens étroits que l'on peut établir entre les codes identifiants et d'autres types de codes, en particulier les codes superimposés, ce qui nous permettra d'obtenir une borne inférieure améliorant celle de [1]. Enfin, je présenterai des constructions basées sur des plans projectifs. Références : [1] M. G. Karpovsky, K. Chakrabarty, L. B. Levitin, On a New Class of Codes for Identifying Vertices in Graphs, IEEE Transactions on Information Theory 44(2), 599-611 (1998). [2] I. Charon, O. Hudry, A. Lobstein, Minimizing the size of an identifying or locating-dominating code in a graph is NP-hard, Theoretical Computer Science 290(3), 2109-2120 (2003).
Les automates cellulaires sont des systèmes dynamiques discrets composés de cellules agencées régulièrement et qui interagissent localement. Bien que les interactions locales soient très simples à décrire, le comportement du système dans son ensemble est très difficile à prévoir. Dans cet exposé, je présenterai d'une part une approche formelle, basée sur des pré-ordres de simulation, pour comparer et classifier les dynamiques globales de ces objets. Je montrerai comment des classes d'automates définies par des propriétés dynamiques classiques se traduisent dans la structure de ces pré-ordres. Je présenterai également une construction qui permet d'obtenir divers ordres-induits remarquables de certains pré-ordres de simulation, ainsi qu'un automate cellulaire intriguant, capable de simuler le comportement d'une machine de Turing avec un nombre fini arbitrairement grand de têtes de calcul, mais qui interdit la cohabitation simultannée d'un nombre infini de têtes. J'aborderai d'autre part les automates cellulaires comme des objets syntaxiques et étudierai la densité de diverses propriétés de ces objets. Je montrerai comment une contrainte syntaxique locale permet de définir une classe (les automates cellulaires captifs) dans laquelle les propriétés monotones suivent une loi zéro-un. En particulier je montrerai que, dans cette classe, la propriété d'être intrinsèquement universel a une densité 1 tout en étant indécidable.
La logique quantique, qui est une composante importante des travaux visant à la compréhension du monde quantique, reste mal comprise et difficilement utilisable en pratique. Grâce à la mise en évidence de l'importance de notions "classiques" comme les points de vue ou la connaissance partielle, nous montrons comment il est possible d'obtenir de nouvelles pistes pour l'étude de ce type de logique, avec en particulier des méthodes de recherche automatique de preuves. Dans cet exposé, nous présenterons un ensemble de résultats nous effectuerons une présentation de la logique quantique ainsi que le modèle usuel de cette logique, à savoir les treillis orthomodulaires. Ensuite, nous exposerons une approche utilisant les "systèmes de représentation" (développés par l'auteur durant sa thèse de doctorat, voir bibliographie) basée sur les notions de connaissance partielle et de points de vue qui permet de fournir une caractérisation purement classique et non probabiliste (basée sur l'utilisation d'algèbres booléennes). Nous montrerons enfin comment cette caractérisation permet d'envisager la logique quantique d'une nouvelle manière, et fournir de nouveaux outils pour son étude. En particulier, nous présenterons un fragment décidable de cette logique, sous forme de calcul des séquents. Références: http://www-leibniz.imag.fr/~obrunet
La géométrie projective de courbes de sous-espaces de dimension n dans un space vectoriel de dimension 2n est à la fois riche et simple. On montrera que cette géométrie permet d'unifier les travaux de Grifone, Foulon, et Agrachev et al. sur les notions de courbure pour les équations différentielles du second ordre.
Dans cet exposé nous présenterons deux formalismes de réécriture d'ordre supérieur permettant l'utilisation de filtrage "à la ML". Le premier de ces formalismes, le lambda P calcul, est une extension du calcul lambda sigma traitant de manière complètement explicite les notions de substitution et de filtrage. Nous montrerons qu'il possède les propriétés de normalisation forte sur les termes typés et de confluence. Le second formalisme est un formalisme de réécriture d'ordre supérieur fondé sur les (S)ERS. Ce formalisme autorise la définition de systèmes de réécriture utilisant la notion de filtrage. Nous donnerons un critère syntaxique de confluence pour de tels systèmes.
Dans cet exposé nous présenterons quelques résultats de stabilité, au sens de Lyapounov, des systèmes dynamiques du second ordre avec application au frottement sec. Plus précisément, nous nous intéressons à la stabilité et l'attractivité des solutions stationnaires d'une classe d'inclusions différentielles du second ordre. Le modèle considéré peut être utilisé en Mécanique du Contact pour décrire le comportement dynamique de systèmes à degrés de liberté finis soumis à des forces de frottement.
On considère un polyèdre, on définit alors le billard polyédral de la facon suivante: On part d'un point d'une face, on se donne une direction et on se déplace dans cette direction jusqu'à rencontrer une autre face. On obtient un nouveau point, la direction est alors réfléchie orthogonalement par rapport à cette face. Pour étudier cette application on repère chaque face par une lettre, l'orbite d'un point devient une suite de lettres. C'est ce qu'on appelle un mot. Le but est d'étudier ces mots grace en autre à leurs fonctions de complexité. Nous présenterons les estimations connues pour un polyèdre général, et nous nous intéresserons plus précisemment au cas du cube.
Let X be an algebraic manifold without compact component and let V be a compact coherent analytic hypersurface in X, with finite singular set. We prove that V is diffeotopic (in X) to an algebraic hypersurface in X if and only if the homology class represented by V is algebraic and singularities are locally analytically equivalent to Nash singularities. This allows us to construct algebraic hypersurfaces in X with prescribed Nash singularities. Joint work with Wojciech Kucharz.
Dans cet exposé, on développera une interprétation de la logique linéaire en termes de processus concurrents. On utilise pour cela une variante du pi-calcul, munie d'une notion paramétrable d'observation (divergence, may- ou must-testing...), d'où l'on déduit une notion abstraite de comportement. La structure de ces comportements mène à la définition de connecteurs logiques, inspirés des logiques spatiales et temporelles, qui décrivent les propriétés fondamentales des processus. Le système obtenu est une forme de logique linéaire qui définit pour le pi-calcul un système de type qui garantit de bonnes propriétés comme la terminaison et l'absence de blocage. D'autre part, ce système de type établit une correspondance à la Curry-Howard entre la concurrence et diverses variantes de logique linéaire, qui s'intègre bien aux précédentes études sur la décomposition du calcul fonctionnel dans les calculs concurrents.
Nous traduisons en theorie des semi-groupes le Calcul de Malliavin du genre de Bismut afin d'obtenir des resultats de regularite des semi-groupe. Nous traduisons notre preuve des estimations de Varadhan inferieures (obtenues anterieurement par le Calcul de Malliavin) en theorie des semi-groupes. Nous donnons une traduction en theorie des semi-groupes de l'approximation de Wong-Zakai des diffusions, ce qui nous permet d'eliminer pratiquement toute la theorie des processus stochastiques de notre resultat avec Ben Arous concernant la stricte positivite d'un noyau de la chaleur.
Dans cet exposé, je présenterai la structure de polygraphe, une sorte de complexe cellulaire, à travers ses liens avec la réécriture et la logique. Dans la première partie, nous verrons comment tout système de réécriture de termes peut être traduit sous la forme d'un polygraphe, vu ici comme un système de réécriture de circuits. Sur un exemple, je montrerai comment construire des ordres de terminaison adaptés à ces objets. Dans la seconde partie, nous traduirons le calcul propositionnel et ses démonstrations en un polygraphe : cela permet d'obtenir des représentations bidimensionnelles pour les formules et tridimensionnelles pour les démonstrations. Enfin, si le temps le permet, je parlerai d'une piste menant à une autre description polygraphique des démonstrations classiques, toujours en trois dimensions.