Je m’intéresserai dans cet exposé à l’approximation des propriétés géométriques des surfaces (régulières, de classe C2) de R3 par des triangulations. Je donnerai en particulier des résultats sur l’approximation de l’aire et des normales des surfaces ainsi que sur la forme du dépliage des surfaces développables.
Je présenterai également une application en géométrie algorithmique qui concerne la triangulation de Delaunay restreinte à une surface.
On montre dans un premier temps, qu’une surface elliptique réelle avec une section réelle se déforme en une surface elliptique réelle dont les fibres singulières sont génériques.
On utilisera ce résultat pour donner une borne supérieure pour le nombre de composantes connexes qui est optimale pour les surfaces elliptiques régulières réelles.
We introduce m-times Peano-differentiable functions which are definable in an o-minimal structure expanding a real closed field. The aim is to give a characterization of the set of points in which these functions are not k-times continuously differentiable. We put out that these sets are all definable sets of codimension greater than or equal to 2.
Une fonction arc-analytique est une fonction analytique en restriction aux arcs analytiques. Je montrerai que pour une fonction sous-analytique continue, la notion d’arc-analyticité (en un point) est équivalente à celle d’analyticité sur un espace d’arcs plus petit : les arcs polynomiaux de degrés bornés.
Je donnerai par la suite quelques resultats reliés dans le domaine des structures o-minimales.
Soit f : U -> R une fonction analytique, dont le graphe est sous-analytique global.
Dans "Control of radii of convergence and extension of subanalytic functions" (Proc. Amer. Math. Soc. 132 (2004)), E. Bierstone prouve que si U est ouvert alors $Sigma$, l’ensemble des points adhérents à U en lesquel f se prolonge en une fonction analytique, est un ensemble sous-analytique global et qu’on peut prolonger f dans un voisinage sous-analytique (global) de $overline{U} $.
Ce résultat se prouve, à l’aide du théorème d’uniformisation d’Hironaka, en utilisant l’idée de Malgrange d’étude des points graphiques: on parvient à prolonger les relation formelles obtenues en les points réguliers de l’uniformisation et même à controler les rayons de convergence de ces séries, en utilisant les résultats d’A. Mouze "Sur la composition de séries formelles à croissance contrôlée. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5) 1 (2002), no. 1.".
Un ensemble semi-algébrique ou sous-analytique admet une métrique par chemin qui est importante pour les applications (par exemple en robotique), mais néanmoins peu comprise. Je donnerai des résultats locaux concernant cette métrique. Notamment, j’introduirai trois espaces tangents en un point d’un ensemble sous-analytique. Le premier est l’espace tangent de Gromov-Hausdorff, le deuxième l’espace tangent par blow-ups et le troisième, le cône géodésique. Le théorème principal (obtenu avec A. Lytchak) est que ces trois espaces sont naturellement isométriques.
Etant donné un ensemble fini de points, le problème que nous considérerons consiste à construire une surface qui l’approche. Différents types de surfaces peuvent etre considérées: des surfaces polyhédrales possédant différents types de convexité ou des surfaces equipotentielles parmi lesquelles on trouve les surfaces algebriques (le potentiel est donné par un polynome). C’est sur le problème de la reconstruction de surfaces algebriques que nous focaliserons nos efforts. Nous ferons le lien entre ce problème et la notion de couche digitale développée dans le cadre de la géométrie discrète. Nous pourrons ainsi donner un aperçu des solutions développées dans ce domaine, et de leurs nombreuses applications.
Les variétés bihamiltoniennes de dimension paire, i.e. munies d’un couple de tenseurs de Poisson compatibles dont le premier est de rang maximum, fournissent un cadre adapté à une caractérisation géométrique de systèmes hamiltoniens intégrables.
On généralise ici cette situation et l’on se place sur des variétés de dimensions finies quelconques sur lesquelles le premier tenseur de Poisson présente des singularités de rang et où le second a un espace caractéristique contenu dans l’espace caractéristique du premier (cadre des variétés bihamiltoniennes emboîtées).
On étudie alors certaines propriétés géométriques de telles variétés en fonction du spectre de l’opérateur de récursion lié aux deux structures.