La modélisation et la simulation d’écoulements diphasiques constituent un sujet de recherche important, notamment pour leurs applications en sûreté nucléaire. Dans certains scenarii d’accidents interviennent des écoulements très hétérogènes, constitués d’eau liquide et de bulles d’air et de vapeur. Afin de modéliser de tels écoulements, on privilégie des modèles moyennés, donnant une description macroscopique des écoulements, la description à l’échelle des interfaces eau-gaz étant hors portée. Cependant connaître les propriétés de l’interface, en particulier l’évolution de l’aire interfaciale et de la tension de surface, demeure important. Le but de cet exposé est de présenter deux manières de dériver des modèles moyennés d’écoulements diphasiques avec tension de surface, la première par une méthode d’homogénéisation, la seconde par un principe d’Hamilton.
We investigate the energy decay of hyperbolic system of wave-wave with generalized acoustic boundary conditions in N-dimensional space, with the equations being coupled through boundary connection. First, by spectrum approach combining with a general criteria of Arendt-Batty, we prove that our model is strongly stable. Then, after proving that this system lacks the exponential stability, we establish different type of polynomial energy decay rates provided that the coefficients of the acoustic boundary conditions satisfy some assumptions. Further, we present some appropriate examples and show that our assumptions have been set correctly. Finally, we prove that the obtained energy decay rate is optimal in particular case.
We consider a stochastic individual-based model for the evolution of a population, whose space of possible traits is given by the vertices of a finite graph. The dynamics is driven by births, deaths, competition, and mutations along the edges of the graph. We are interested in the large population limit under a mutation rate given by a negative power of the carrying capacity K of the system. This results in several mutant traits being present at the same time and competing for invading the resident population. We describe the time evolution of the orders of magnitude of each sub-population on the \log K time scale, as K tends to infinity. Using techniques developed in [Champagnat, Méléard, Tran, 2019], we show that these are piecewise affine continuous functions, whose slopes are given by an algorithm describing the changes in the fitness landscape due to the succession of new resident or emergent types. I will illustrate the theorem by examples describing surprising phenomena arising from the geometry of the graph and/or the rate of mutations. If time permits I will finish with an application to the phenomenon of evolutionary rescue.
In this talk, we introduce nonlinear diffusion equations with absorption, in the most general form
∂_t(u) = ∆u^m − |x|^σ u^p, for m > 1 and p > 0.
Looking for solutions to the Cauchy problem in a first part of the talk, we give a brief survey of general facts for the previous equation in the case of the spatially homogeneous absorption σ = 0, related to very singular solutions and finite time extinction of solutions: that is, the existence of a time Te ∈ (0, ∞) such that u(t) ≢ 0 for any t ∈ (0, Te), but u(Te) ≡ 0. In the second and more specialized part of the talk, we present some recent results including well-posedness, instantaneous shrinking of the supports of solutions, non-extinction versus extinction depending on the initial condition, and large time behavior for the general equation with σ > 0 and 0 < p < 1, emphasizing on the importance of the critical exponent σ := 2(1 − p)/(m − 1) and its influence on the dynamics of the equation.
Joint work with Philippe Laurençot (Univ. de Savoie, Chambéry) and Ariel Sánchez (Univ. Rey Juan Carlos, Madrid).
Dans cet exposé, nous présentons l'étude numérique du système type Boussinesq d'ordre supérieur/étendu décrivant la propagation des ondes de surface. Une reformulation appropriée équivalente est proposée, rendant le modèle plus approprié pour l'implémentation numérique et significativement amélioré en termes de propriétés dispersives linéaires dans les régimes à haute fréquence grâce à l'ajustement approprié d'un paramètre de correction de dispersion. De plus, nous montrons qu'un intérêt significatif se cache derrière la dérivation d'une nouvelle formulation du système de Boussinesq d'ordre supérieur/étendu qui évite le calcul des dérivées d'ordre supérieur existant dans le modèle. Nous montrons que cette formulation a l'avantage d'un domaine d'application étendu tout en restant stable. Nous développons un schéma de ``splitting'' du second ordre où la partie hyperbolique du système est traitée avec un schéma de volumes finis d'ordre élevé et la partie dispersive est traitée avec un schéma de différences finies. Des simulations numériques sont ensuite réalisées pour valider le modèle et les méthodes numériques.
La notion de consistance au sens de Lax-Wendroff (LW-consistance) est importante pour les applications pratiques en simulation d'écoulement de fluides. Dans de nombreux cas d'intérêt, des résultats plus forts de convergence sont hors de portée, et la LW-consistance permet d'aider à la conception mathématique des schémas numériques. C'est par exemple le cas pour les écoulements multidimensionnels gouvernés par des systèmes hyperboliques, tels que les équations d'eau peu profonde, les équations d'Euler ou les modèles pour les écoulements multiphasiques.
Les maillages décalés sont utilisés dans les codes de sûreté nucléaire développés par l'IRSN depuis plus de 15 ans pour la simulation numérique de problèmes d'écoulement de type hyperbolique, et sont maintenant couramment utilisés pour des applications de sécurité industrielle telles que les problèmes d'explosion d'hydrogène, pour des écoulements non visqueux ou au moins de viscosité négligeable.
Nous montrons ici comment les hypothèses de Lax et Wendroff peuvent être généralisés à des maillages décalés pour obtenir un résultat de LW consistance.
Dans l'étude du système de Boussinesq, nous allons revisiter les résultats obtenus par M. E. Schonbek concernant le problème d'existence de solutions faibles entropiques globales pour le système de Boussinesq, ainsi que l’existence et l’unicité de solution régulière globale par C. J. Amick. Il s’agit de rétablir ces résultats dans un cadre fonctionnel plus actuel et en utilisant une ``régularisation par un opérateur fractal”. Nous allons étudier le problème de Boussinesq régularisé et nous montrerons qu’on peut passer à la limite sur la solution de ce problème pour retrouver celle du système de Boussinesq. La méthode utilisée nous permet d’améliorer l’indice de régularité Sobolev pour le problème d’existence ainsi que l’obtention de la continuité des flots associés aux différents problèmes de Cauchy sous la condition du “non-zero-depth”. En même temps, on essayera d’indiquer quelques résultats en cours concernant le cas de fond non plat modilisé par le système de Boussinesq-Peregrine. Ce travail est effectué en collaboration avec L. Molinet et I. Zaïter.
Gradient estimates for solutions to parabolic backward equations based on the Laplace operator are well understood. The Laplace operator naturally extends to non-local operators, where a large class of those non-local operators has an intrinsic connection to Lévy processes. The solutions to the corresponding non-local parabolic backward equations are of interest in applications, where the difference to the classical case is that the gradients of the solutions are infinite-dimensional in general. We investigate the singularity properties of those gradients and indicate an application of the obtained estimates.
In this talk we focus on a class of singular perturbation problems arising in the study of the dynamics of geophysical flows. Given a so-called ``primitive'' system of equations, the goal is to derive reduced models, under suitable assumptions on the fluid and on the scaling regime. The presence of a Coriolis term. encoding the Earth rotation, in the primitive system is the key element of the problems under consideration. We will discuss several aspects which enter into play in this context: the difference between the compressible and incompressible fluid cases, the presence of multiple scales, the formation of the Ekman boundary layers.
We propose a new system of equations modeling Tsunamis in this work. It is a coupled system accounting for both water compressibility and viscoelasticity of the earth. Adding these latter physical effects is responsible for the closest-to-reality time arrival predictions (among existing models), capturing the negative peak before the main wave hump, and exhibiting the negative dispersion phenomena. This comes in remarkable agreement with previous experiments and studies on the topic. The system is also delivered in a relatively simple mathematical structure of equations that is easy to solve numerically.
This talk shall focus on the presentation of a (by now) well studied research topic in the field of stochastic control theory, i.e the case of optimal switching control problems. A main objective of this talk is to provide the connection with system of semilinear PDEs with obstacles which, in addition, are inter- connected. This last feature (among some others) explains why the solution is not smooth (in general). For this reason we study existence and uniqueness of solutions of these PDEs in viscosity sense. In a first part, we shall explain the relationship between the value functional associated with a stochastic control problem and the solution of an explicit semi- linear PDE. For this, we need to introduce both the stochastic framework and some advanced probabilistic tools & technics. Next and after this introductory part, we shall give the precise structure of the system of PDEs we are interested in and provide some theoretical results. If time allows, the last slides present the main steps of one of our main results. This talk is based on several joint works (with Pr. S. Hamadène (LMM), Pr. B Djehiche (KTH Stockholm) and X. Zhao former pHD student at the LMM).
Solving boundary value problems requires implementation of sufficiently robust constitutive models. Most models try to incorporate a great deal of phenomenological ingredients, but this refining often leads to overcomplicated mathematical formulations, requiring a large number of parameters to be identified. On the other hand, geomaterials are known to have an internal microstructure, made up of an assembly of interacting particles. Most of the macroscopic properties, observed on a specimen scale or even on larger scales, mainly result from the microstructural arrangement of grains. Thus, a powerful alternative can be found with micromechanical models, where the medium is described as a distribution of elementary sets of grains. The inherent complexity is not related to the local constitutive description between particles in contact, but to the basic topological complexity taking place within the assembly. This presentation discusses this issue, highlighting very recent results obtained from discrete element simulations. In particular, the so-called critical state regime that develops during localized or diffuse failure is discussed in detail from the perspective of emerging processes taking place within complex media.
A prototypical model for an age-structured diffusive population is considered in which individuals are distinguished by age and spatial position. The evolution equation involves a diffusion term for the space variable and a transport term for the age variable supplemented with a nonlocal boundary condition. The linear version of the model gives rise to a strongly continuous semigroup which exhibits the parabolic regularizing effects in the space variable. We determine its asymptotic behavior based on spectral properties of the associated generator. For a nonlinear version of the model we investigate the existence of nontrivial steady states and establish a principle of linearized stability.
11h Jacques Blum (Univ Côte d’Azur) : exposé de Mathematiques pour grand public (Amphi Nivolet) 14h Michel Pierre (ENS Rennes) (salle TLR) 15h Laurent Véron (Univ Tours) (salle TLR)