The aim of the talk is to provide a concise survey of some results about variational methods for image segmentation and inpainting, in the framework of functions of Special Bounded Variation in the sense of De Giorgi.
Local conservation laws of a system of differential equations are given by one or several expressions of the form divergence(flux vector)=0, holding on solutions of that system. For ordinary differential equations (ODE), conservation laws lead to first integrals and the reduction of order; for partial differential equations (PDE), they are used for analysis of solution behaviour, and provide globally conserved quantities, such as energy, momentum, etc., as well as more exotic ones. Conservation laws also play an important role in the numerical treatment of nonlinear PDE models. In this talk, we will review the general theory, including trivial and equivalent conservation laws, the characteristic form of conservation laws, their relationship with symmetries of DEs, variational systems, Lagrangians, and the first and second Noether's theorems. A systematic general procedure to seek conservation laws will be discussed, applicable to virtually any model; it will be compared to the Noether's theorem approach for variational models. A symbolic implementation of the direct method of conservation law computation in Maple will be discussed. Examples of conservation laws and conserved quantities for classical PDEs and some nonlinear models arising in contemporary work will be presented. Time permitting, we will consider a common framework for different types of conservation laws of PDE systems in three space dimensions, including their global and local formulations in static and moving domains given by volumes, surfaces, and curves.
Je présenterai quelques résultats que j'ai obtenus récemment en collaboration avec José Antonio Carrillo, François Delarue, François James et Nicolas Vauchelet. Ils concernent des équations d'agrégation, qui sont des équations de transport, conservatives, où le champ de transport est obtenu par convolution de la solution elle-même (l'équation étant donc non linéaire) par le gradient d'un potentiel qui peut n'être pas régulier. Ceci a pour conséquence que le champ de vitesse présente des discontinuités en espace. Nous verrons que les problèmes de Cauchy associés à ce type d'équations sont bien posés, en un sens proposé par Poupaud et Rascle, en se basant sur la théorie des EDO de Filippov. Nous verrons ensuite que ces solutions, non régulières (mesures bornées), s'approchent bien (à l'ordre 1/2 en le pas du maillage) par des schémas diffusifs (du genre décentré amont), en distance de Wasserstein.
Les équations de réaction diffusion non locales sont un moyen de décrire certaines populations ayant une stratégie de dispersion à longue distance. Un des enjeux de ce type de modélisation est de mieux comprendre les phénomènes d'invasion pour les espèces adoptant ce type de stratégie. Pour attaquer ce type de problème, une première approche consiste à étudier et caractériser au mieux les phénomènes de propagation pouvant être décrit par ces modèles. Dans cet exposé, je commencerai par présenter différents résultats sur l'existence de front progressif vs solution accélérée que l'on peux observer dans les équations de réaction diffusion non locales monostables. Je poursuivrai par la description de la dynamique interne de ces de solutions.
We prove a priori estimates in Cinfty(R) for non-local operator Lx comparable to R^d fractionnal Laplacian in terms of symbols, α ∈ (0, 2). We require that when Lx is replaced by the classical Rd -Laplacian. Such estimates were only known for α = 2. This is one of the first results on Lp estimates for degenerate non-local operators under Hormander type conditions.
Nous nous intéresserons aux liens qui existent entre deux échelles de modélisation neurobiologique. À un niveau microscopique, l'activité électrique de chaque neurone est représentée par un processus ponctuel. À une plus grande échelle, un système d'EDP structuré en âge décrit la dynamique moyenne de ces activités. Nous montrerons que le modèle macroscopique (système d'EDP) peut se retrouver à partir d'un réseau de $n$ neurones en champ-moyen quand $n$ tend vers $+infty$ via une Loi des grands nombres''. De plus, les fluctuations du réseau de $n$ neurones autour du comportement limite/macroscopique sont caractérisées par unThéorème central limite''. Cette étude finale permet la dérivation d'un système d'EDP stochastique, plus proche de la dynamique microscopique que le système d'EDP classique.
Il s'agit d'un travail conjoint avec Ilaria Lucardesi et Gérard Philippin Dans cet exposé, nous revisitons deux problèmes elliptiques très classiques: le problème de la torsion (ou de St Venant): -Δu = 1 dans Ω avec u=0 sur le bord et la première valeur propre λ(Ω) du Laplacien-Dirichlet. Désignant par M(Ω) le maximum de la fonction torsion u, nous cherchons des bornes, si possible optimales, pour les deux fonctionnelles F(Ω)=∫Ω u dx/(M(Ω) /|Ω|)$ et G(Ω)=M(Ω) λ(Ω).
Depuis Peter Lax et Olga Oleinik (1957) l’espace BV ( functions with Bounded Variations) est le cadre mathématique le plus utilisé pour les lois de conservation. BV a l’avantage de contrôler la dérivée tout en permettant les ondes de chocs avec des traces de part et d’autre du choc. Les espaces de Sobolev n’ont pas ces avantages bien que Lions, Perthame, Tadmor, Tao aient obtenu des effets régularisant (non optimaux) pour les lois scalaires non linéaires dans ce cadre. On présentera des espaces BV généralisés comme les BV fractionnaires pour obtenir des effets régularisant optimaux, des blow-up ou des résultats d’existence pour des lois scalaires et un système hyperbolique issue de la chimie. Travaux en collaboration avec: Christian Bourdarias, Pierre Castelli, Pierre-Emmanuel Jabin, Marguerite Gisclon, Yue-Jun Peng.
In this talk, we study the influence of a Coriolis forcing on water waves. First, we present a local wellposedness result on the Castro-Lannes equations which generalize the so called Zakharov/Craig-Sulem formulation in the rotational framework. Then, we study different asymptotic models in shallow waters. First, we fully justify on large times the Boussinesq equations, asymptotic model in a weakly nonlinear regime, and then we fully justify the Poincaré waves and the Ostrovsky equation.
Nous considérons l'équation de Schrödinger avec une non-linéarité logarithmique, dont le signe est tel qu'il n'existe pas de solution stationnaire (non triviale). Des calculs explicites dans le cas de données gaussiennes font apparaître trois phénomènes nouveaux, dans le régime en temps grand : la dispersion est accrue d'un facteur logarithmique en temps, les normes de Sobolev (d'indice positif) croissent logarithmiquement en temps, et après une remise à l'échelle de la fonction inconnue, le module de la solution converge vers une gaussienne universelle (indépendante de la gaussienne initiale). Ces phénomènes persistent pour des données initiales générales (non nécessairement gaussiennes), quitte à considérer une limite faible pour le troisième point. Parmi les étapes de la preuve, nous présenterons une transformée de Madelung permettant de réduire l'équation à une variante de l'équation d'Euler compressible isotherme, dont le comportement en temps long fait intervenir une équation parabolique liée à un opérateur de Fokker-Planck. Il s'agit d'un travail en commun avec Isabelle Gallagher.
Dans ce travail en collaboration avec Jean-Michel Coron et Frédéric Marbach, nous considérons les équations de Navier-Stokes incompressible dans un domaine borné régulier dans le cas où une condition de glissement avec friction est prescrite sur le bord privé d’une partie non-vide. Cette sous-détermination exprime que l’on contrôle la partie restante du bord. Nous prouvons que pour toute donnée initiale d’énergie cinétique finie, pour tout temps positif, il existe une solution faible à la Leray qui s’annule au temps donné.
Nonlinear waves under ice plates are considered in this presentation. The ice plates floating on water can be modelled under certain conditions by thin elastic plates. Considering the influence of gravity and flexural effects a variety of two-dimensional nonlinear waves are discovered. The steady and unsteady solutions are analysed using weakly-nonlinear models, Hamiltonian formulations and numerical computations. Extensions including stratified fluids, three-dimensional effects will be discussed.
The accurate numerical simulation of large scale flows, together with the detailed modeling of flooding or drying of small-scale regions, is a difficult and a challenging problem. Adaptive mesh method allows, in principle, to solve accurately those scales. However in practice, on one hand, the lack of a priori or efficient a posteriori error estimates, especially for multidimensional hyperbolic problems, make the analysis harder. On the other hand, once a mesh refinement criterion is chosen, the difficult problem is to determine the mesh refinement threshold parameter which is certainly the most important part of the adaptive process. The smaller this parameter is, the higher the number of cells refined is at the expense of the computational cost. In this talk, we present a general procedure to determine automatically a mesh refinement threshold for any given mesh refinement criterion. To this end the decreasing rearrangement (distribution) function of the mesh refinement criterion is introduced to catch relevant scales. The efficiency of the automatic thresholding method is illustrated through the one and two dimensional Saint-Venant system.
Une diffusion de McKean-Vlasov correspond à une particule d'un système de type champ moyen dont la dimension tend vers l'infini. Il s'agit également de l'interprétation probabiliste de l'équation des milieux granulaires. Benachour, Roynette et Vallois ont prouvé la convergence en loi de ce genre de processus. Cattiaux, Guillin et Malrieu ont étendu ce résultat en ajoutant le gradient d'un potentiel convexe. Carrillo, McCann et Villani prouvent un résultat similaire dans un cas non-convexe en supposant que le centre de masse est fixe. En utilisant le dénombrement exact des mesures stationnaires et l'énergie-libre, la convergence en temps long sera prouvée sous des conditions naturelles portant uniquement sur la loi initiale.
On présentera des EDP modélisant l'adaptation d'une population sexuée à un (changement d')environnement. On propose d'étudier les états stationnaires de ces équations afin de quantifier la mal-adaptation de la population. La reproduction sexuée est modélisée par l'opérateur infinitésimal de Fisher, qui est non local, non linéaire, non monotone. Pour ces raisons l'existence d'éléments propres principaux ne peut pas être obtenue par la théorie de Krein-Rutman. Dans une seconde partie on expliquera comment, dans un certain rapport des échelles phénotypiques, la méthodologie de l'approximation WKB peut être adaptée à ces équations pour calculer des indicateurs de maladaptation. L'introduction d'une structure en âge fait apparaître des effets non linéaires (mur de mortalité).
A partir de l'exemple d'une recherche en biomath, nous justifierons l'utilité de l'identification pour un mathématicien appliqué, mais surtout de l'identifiabilité, moins connue. Nous essaierons de montrer que ses questions sont typiques de celles qu'un mathématicien appliqué se pose, et pas seulement en biomaths. Le domaine est à la confluence entre l'automatique, les statistiques et l'informatique fondamentale (ou l'algèbre différentielle). Nous donnerons alors le vocabulaire de base avec quelques exemples. Puis, nous relirons un article dans lequel certaines affirmations seront discutées. On verra l'apport des mathématiques pour vérifier/infirmer certaines affirmations.