I will present some results in collaboration with G. Francfort concerning quasi-static evolutions for linearly-elastic perfectly-plastic for multi-phase materials. The mathematical framework adopted is that of the variational approach to rate independent evolutions formalized by A. Mielke and his collaborators. The focus is on the dissipation properties of the interfaces which leads to lower semicontinuity problems in the space of Radon measures.
Le but de cet exposé consiste à développer des méthodes numériques performantes et robustes destinées à résoudre numériquement des problèmes de type diffraction d'ondes (acoustique ou électromagnétique) en régime harmonique à haute fréquence. Il est connu que les systèmes linéaires issus de la discrétisation de tels problèmes par des méthodes d'éléments finis standard sont hautement non définis positifs. En pratique, ils font diverger les solveurs préconditionnés de Krylov (comme le GMRES par exemple). Le but de l'exposé est de développer une méthode alternative, la méthode de décomposition de domaine, et de voir comment l'analyse microlocale joue un rôle crucial pour obtenir des solveurs robustes et efficaces. Plusieurs exemples numériques 2d-3d seront donnés, notamment sur des problèmes de grande taille, la méthode étant adaptée au calcul parallèle. Ces travaux font l'objet de collaborations avec C. Geuzaine, B. Thierry (Université de Liège), M. El Bouajaji (IECN) et Yassine Boubendir (NJIT, USA).
Dans cette exposé je vais présenter des résultats concernant les problèmes de Gel'fand-Calderon et de conductivité inverse (problème de Calderon). Il s'agit de deux problèmes inverses de valeurs au bord avec différents applications, notamment dans le domaine médicale, géophysique et dans la tomographie océanique. Le problème de Calderon consiste à déterminer une conductivité électrique dans un domaine à partir de l'opérateur tension-à-courant (Dirichlet-to-Neumann) au bord. Dans le problème de Gel'fand-Calderon la quantité à reconstruire est un potentiel dans l'équation de Schrodinger, étant donné l'opérateur Dirichlet-to-Neumann associé à énergie fixée. Je vais présenter le premier résultat de stabilité globale en dimension deux pour le problème de Gel'fand-Calderon scalaire et multi-canal (matriciel). Ensuite je vais parler d'un algorithme de reconstruction stable et rapidement convergent pour le même problème dans le cas 2D multi-canal, avec applications à l'étude du problème en 3D . Comme derniers résultats je vais montrer des nouvelles estimations de stabilité globale pour les deux problèmes qui dépendent explicitement de la régularité et de l'énergie. J'expliquerai notamment comment la stabilité augment à hautes énergies.
Le but de cet exposé est de présenter quelques méthodes numériques dédiées à la simulation de fluides complexes en général et des écoulements sanguins en particulier. Je présenterai d'abord une nouvelle formulation point-selle de la méthode de la frontière élargie ainsi qu'une modélisation des globules rouges en utilisant une méthode Level Set. Ensuite, je présenterai des simulations numériques d'écoulements fluides dans des géométries réelles de vaisseaux sanguins. Ces travaux s'effectuent dans le cadre de l'ANR VIVABRAIN (http://icube-vivabrain.unistra.fr) et dans le cadre du développement de la librairie FEEL++ (http://www.feelpp.org/)
Le périmètre anisotrope mesure différemment les parties du bord, en rapport avec leur orientation. Par conséquence, les frontières des formes minimisant le périmètre anisotrope sous contrainte de volume vont avoir certaines directions privilégiées. La question est de trouver numériquement des partitions d'un ouvert en cellules d'aire prescrite, et qui minimise la somme des périmètres anisotropes des cellules. Les résultats numériques sont basés sur une approche par Gamma convergence, généralisant le théorème de Modica-Mortola en anisotrope/multiphase.
``The Elo rating system is a method for calculating the relative skill levels of players in two-player games such as chess'' (Wikipedia). This system is widely used to rank sport teams, online games, journals for instance. The Elo model studied is a Markov chain. When the players are numerous and interact a lot we derive a new continuous model: a kinetic equation with a mean field velocity. The asymptotic behavior of the ratings for large time, which is an important issue for the validity of the rating system, is studied. The idealistic case when all players are compared yields an exponential rate to the true rating independently of the initial rating. The realistic and complex case with only local interactions has several equilibria. The convergence holds to an equilibrium depending on the intial ratings but with no rate. What does it mean for this rating system? Some consequences and some open problems will be given.
Les champs à divergence nulle ne peuvent conserver leur topologie de lignes de champs, lorsqu'ils sont diffusés par l'équation de la chaleur linéaire. Des équations de diffusion conservant la topologie, très non-linéaires, ont été proposées, notamment par H.K. Moffatt sous le nom de relaxation magnétique''. Elles ont pour solutions d'équilibre une classe très riche: à savoir toutes les solutions stationnaires des équations d'Euler des fluides incompressibles. En mélangeant des idées d'Ambrosio-Gigli-Savaré pour l'équation de la chaleur scalaire et la notion de solution dissipative des équations d'Euler proposée par P.-L. Lions, on parvient à définir un concept desolution dissipative'' pour la relaxation magnétique vers Euler, avec un théorème d'unicité ``fort-faible'' à la clef et d'existence globale de solutions.
Les matériaux ferromagnétiques sont de plus en plus utilisés dans l'industrie (peintures d'avions, mémoires d'ordinateurs, transformateurs....). Le comportement de l'aimantation dans ces matériaux est modélisée par l'équation très non linéaire de Landau-Lifschitz. On observe que l'aimantation a tendance à se structurer en domaines (larges zones dans lesquels l'aimantation est presque constante) séparés par des murs (zones fines dans lesquelles l'aimantation varie brusquement). Dans ses travaux précurseurs, Walker a décrit des profils de murs plans dans un modèles tri-dimensionnel de matériau ferromagnétique. Le but de l'exposé est de démontrer la stabilité des profils calculés par Walker vis à vis de l'équation de Landau-Lifschitz en dimension 3.
Dans cet exposé, je m'intéresserai à un système couplant les équations de Navier Stokes avec les lois de Newton qu'il est classique de considérer pour calculer le déplacement de solides dans un fluide visqueux incompressible. Je rappellerai tout d'abord les résultats connus sur la théorie de Cauchy. Je développerai ensuite un résultat obtenu en collaboration avec S. Ervedoza et C. Lacave sur la décroissance en temps des solutions dans le cas bidimensionnel où un disque homogène se déplaçe dans une cavité infinie.``
On examinera des propriétés d'algèbre pour des espaces de Sobolev fractionnaires sur des groupes de Lie ou des variétés riemanniennes. Deux approches seront proposées. Ces propriétés seront appliquées à l'étude de certaines EDP semilinéaires. Il s'agit de travaux avec N. Badr (Lyon I) et F. Bernicot (Nantes).
La croissance de bulles influence le type d'éruption volcanique et est à la base de l'étude du dégazage volcanique. Lors des éruptions effusives les bulles forment par coalescence un chemin vers la surface qui permet au gaz de s'échapper. Au contraire lors d'éruptions explosives les bulles de gaz n'ont vraisemblablement pas réussi former ce chemin. Dans un premier temps nous décrivons et étudions la croissance d'une bulle moyenne représentative par le couplage de deux e.d.o. et d'une e.d.p. Cette étude souligne les limites de cette modélisation microscopique. C'est pourquoi, ensuite, nous proposons une modélisation statistique qui décrit l'évolution d'une population de bulles de tailles différentes en interaction. Plusieurs problèmes sont a résoudre, comme la définition de l'interaction entre bulles, des taux de croissance et leurs simulations. Ces travaux sont le fruit d'une collaboration inter-disciplinaire dans le cadre de l'ERC DEMONS
Dans certains matériaux lorsque les phénomènes de plasticité l'emportent, le comportement change assez fortement. Un exemple d'un tel changement apparaît lors d'expérience de cisaillement dans lequel le matériau verra son écoulement localisé dans une bande au lieu d'être uniforme dans tout l'échantillon. Dans cet exposé je présenterai une description mathématique de ce phénomène pour un modèle de fluide viscoplastique particulier: le modèle d'Arrhénius. Nous étudierons les bandes de cisaillement sous divers prisme afin de mieux comprendre pourquoi elles apparaissent et quelles formes elles peuvent prendre dans ce cas.
In this talk we consider some stabilization problems for the wave equation with switching time-delay. We prove exponential stability results for appropriate damping coef- cients. The proof of the main results is based on D'Alembert formula, observability inequality and some energy estimates. More general and abstract problems, like the Petrovsky system, are also discussed.
L'objectif de cet exposé est d'étudier la stabilité de couches limites fluides lorsque la viscosité tend vers 0. Nous montrerons comment des scalings différents permettent de passer des équations de Navier Stokes aux équations de Prandtl et à celles d'Orr Sommerfeld. Nous nous concentrerons ensuite sur l'étude spectrales de ces dernières pour présenter la construction de modes approchés instables de type Tollmien Schlichting. Nous montrerons que l'on s'attend à ce que tout flot de cisaillement soit instable.