Cet exposé est basé sur le modèle de Canh-Hilliard qui permet de décrire l'évolution du mélange de plusieurs espèces. Il est décomposé en trois parties, une première partie qui concerne la biologie du cancer, la deuxième partie parle d'un modèle mathématique mis en place par Preziosi sur le cancer et enfin on essaie de voir le cancer comme un mélange d'espèces (cellules normales, cellules malades, matrice extracellulaires, ...)
Une justification mathématique de la condition d'adhérence imposée classiquement dans de nombreux modèles (notamment les modèles de mouvement de fluides visqueux) consiste à remplacer la paroi lisse, idéale, par une paroi rugueuse. L'idée est d'imposer uniquement une condition de non pénétration sur la paroi rugueuse, et de montrer que la condition d'adhérence s'obtient dans le modèle limite quand la taille des aspérités tend vers 0. Après avoir discuté du sens à donner à ce passage à la limite, nous montrerons sous quelles conditions une paroi périodique ou cristalline donne lieu à un effet de rugosité uniforme, sur des champs de vecteurs H^1 vérifiant une condition de glissement parfait sur la paroi rugueuse. En particulier cet effet de rugosité est indépendant d'une éventuelle équation satisfaite par les champs de vecteurs sur lesquels on l'applique.
The influence of wall roughness on the slip behavior of a viscous fluid has been discussed in several recent papers. We study the asymptotic behavior of a viscous fluid near a periodic oscillating wall with period epsilon and amplitude depending on the period. We assume the fluid to satisfy the so-called Navier’s boundary conditions. When the period and the amplitude have the same order, it is known that in the limit this boundary condition provides the adherence (or no-slip) condition. This gives a mathematical justification of why adherence conditions are usually imposed for viscous fluids, they are due to the microscopic asperities. In our work we consider the case where the amplitude is much smaller than the period. We show the existence of a boundary layer and, depending on if its value is zero, a positive number or infinite, we get different boundary conditions in the limit. As particular case, we can recover the adherence condition. The proof of our results is based on an original adaptation of the unfolding method, which is closely related to the two-scale convergence method.
Beaucoup de matériaux ont un comportement intermédiaire entre les solides élastiques et les fluides newtoniens. La rhéologie est l'étude de ces matériaux et de leurs conditions d'écoulement. Parmi ces matériaux nous présenterons brièvement la classe des matériaux vitreux/pâteux qui présente plusieurs propriétés caractéristiques des fluides complexes: ce sont des fluides élastoviscoplastiques. Après avoir rappelé ce que sont ces propriétés, nous présenterons un modèle multi-échelle conçu pour décrire le comportement des fluides vitreux. Nous étudierons ensuite les courbes de flots attachées à ce modèle pour montrer que leurs comportement à faible cisaillement subit une transition lorsque l'un des paramètres du modèle passe par une valeur critique.
Les méthodes symplectiques pour les systèmes hamiltoniens sont certainement les intégrateurs géométriques les plus connus. Leurs performances surpassant celles des méthodes classiques sur de long temps d'intégration sont bien établies. Une généralisation de ces méthodes d'intégration aux EDP possédant une formulation hamiltonienne, ainsi qu'aux systèmes dérivant d'un lagrangien existe. Elle repose sur la préservation de lois de conservation, celles-ci étant reliées aux symétries du système via le théorème de Noether. Que se passe-t-il pour une EDP n'ayant pas de structure particulière: comment peut-on étendre les performances des intégrateurs symplectiques à une EDP quelconque? Comment conserver les symétries d'une équation par une méthode numérique? Le coeur de l'exposé consistera à présenter une approche d'invariantisation permettant de construire de façon systématique des schémas numériques préservant les symétries de Lie des équations continues. Elle repose sur le concept de repères mobiles introduit par Elie Cartan, puis développé et adapté par M. Fels et P. J. Olver. Les premières applications d'invariantisation ont été réalisées par P. Kim pour les EDO et pour quelques EDP. Une contribution au développement de la méthode sera présentée.
An efficient numerical scheme for simulations of fully nonlinear non-breaking surface water waves in 3D is presented. The water depth is either shallow, finite or infinite. The method is based on a fast, rapidly converging, iterative algorithm to compute the Dirichlet to Neumann operator. This is evaluated by expanding the operator as a sum of global convolution terms and local integrals with kernels that decay quickly in space. The global terms are computed very quickly via FFT. The local terms are evaluated by numerical integration. Analytical integration of the linear part of the prognostic equations in Fourier space is obtained to machine precision. The remaining nonlinear components are integrated forward in time using an RK-scheme combined with a special step size control technique. This yields a very stable and accurate time marching procedure. Zeros-padding in the spectral space represents the anti-aliasing strategy. The method requires no smoothing. Illustration through examples show that the total energy is well conserved during the numerical simulations. The scheme is stable and accurate, even for very long time simulations of very steep wave events. The scheme is easily parallelizable. It propagates for example a Stokes wave of slope 0.2985 with a phase shift error of about 0.3 after 1000 periods of propagation.
Les solutions stationnaires des équations aux dérivées partielles hamiltoniennes sont les points critiques du Hamiltonien. La stabilité de ces solutions est lié au nombre de valeurs propres la Hessienne du Hamiltonien. Il est possible de compter ces valeurs propres en utilisant un invariant topologique appelé indice de Maslov. Nous appliquons ce cadre de travail à certaines solutions stationnaires de l'équation de Korteweg de Vries avec forçage ainsi qu'aux ondes solitaires multi-modales de l'équation de Kawahara.
Dans cet exposé, nous présentons un nouveau modèle de type Boussinesq, dont le but est de pouvoir propager correctement les vagues et leurs cinématiques sur des domaines étendus allant jusqu'à plusieurs kilomètres au large. La construction du modèle repose sur trois idées: la première est de formuler le problème en fonction d'un opérateur de Dirichlet-Neumann exprimé, non pas à la surface libre de manière classique, mais au niveau de la surface du fluide au repos, de manière à travailler sur un opérateur statique. La seconde idée est de chercher une approximation de cet opérateur au moyen de séries de Taylor tronquées et d'approximants de Padé. La troisième est enfin d'utiliser une décompositionartificielle du fluide en deux couches de même densité, de manière à diminuer l'ordre des dérivées du problème. Le modèle final comprend ainsi quatre équations (en 2DH) ne faisant intervenir que des dérivées secondes au maximum, et nous montrons via une analyse linéaire et des simulations numériques non-linéaires que le modèle permet de propager des vagues avec précision jusqu'en eaux profondes.
On présentera tout d'abord le problème de l'élastodynamique (en formulation vitesse-contraintes) qui modélise la propagation de deux types d'ondes sismiques : les ondes P et les ondes SV. Ensuite, l'exposé s'orientera vers les méthodes de Galerkin Discontinues que nous comparerons brièvement aux méthodes de Différences Finies, Volumes Finis et Elements Finis (avantages/inconvénients). Nous décrirons alors une méthode de Galerkin Discontinue d'ordre élevé avec un schéma saute-mouton en temps combiné à un schéma centré en espace. Des résultats de stabilité (avec une étude énergétique) et de convergence seront ensuite présentés. Enfin, nous illustrerons l'exposé par quelques résultats numériques (taux de convergence et temps CPU), ainsi que par un cas test avec une source explosive.
We consider a drop of one liquid suspended in another liquid which is sheared as a model of a Couette device. Numerical simulations are conducted with an in-house volume of fluid (VOF) code with either a continuum surface force (CSF) algorithm with piecewise linear interface reconstruction or with a more accurate but computationally more intensive paraboloid representation of the interface (PROST). The methodology will be presented. The Oldroyd-B and Giesekus constitutive models are implemented. Comparisons with recent experimental results of P. Moldenaers (KU-Leuven) will be discussed
Controllability refers to the possibility of steering a system from a given initial state to a desirable state with a given class of control inputs. In continuum mechanics, the control if usually affected by a body force or boundary conditions. Viscoelastic flows pose an interesting class of problems for which the linearized problem is only partly controllable, and the question to what extent nonlinear problems can be controlled is in general quite difficult. The lecture will review partial result on this topic which I have obtained over the past few years.
Ce colloque est organisé par la Fédération de Recherche 2914 '' Modélisation, Simulation, Interactions fondamentales'', regroupant le LAMA, le LAPP et le LAPTH . Ce colloque impliquant des interfaces entre disciplines différentes a pour but premier de promouvoir des échanges d’idées et de concepts entre chercheurs de disciplines différentes ; il est donc adapté pour permettre la discussion entre personnes de domaines de compétences différents.
On considère un mélange d'espèces chimiques transportées par diffusion moléculaire et convection dans un capillaire. On sait depuis les années 50 qu'à ces deux mécanismes de déplacement s'ajoute celui de la dispersion, due à l'hétérogénéité des vitesses à l'échelle microscopique. Mais on utilise des modèles largement empiriques pour modéliser les effets dispersifs. Le but est de retrouver rigoureusement et explicitement les effets dispersifs, en utilisant l'approche par homogénéisation. On passe ainsi d'un modèle 3D convection-diffusion'' à l'échelle microscopique à un modèle 2Dconvection-diffusion-dispersion'' à l'échelle mésoscopique. On suppose de plus que les composants chimiques réagissent avec le bord du tuyau pour tenir compte de l'adsorption-désorption dans le modèle. On se place ainsi (par exemple) dans le cadre original dans lequel ces phénomènes ont été mis en relief : le transport des médicaments dans le réseau sanguin. Références: G.I. Taylor, Dispersion of soluble matter in solvent flowing slowly through a tube, Proc. Royal Soc. A, Vol. 219 (1953)
Le ruissellement sur les sols cultivés pose des problèmes de conservation des ressources environnementales. Les épisodes ruisselants sont aussi responsables de coulées boueuses pouvant affecter les biens et les personnes. Il est donc important de pouvoir prédire correctement la localisation des écoulements de surface. Dans cet exposé, je présenterai un modèle qui intègre dans un système de type Saint-Venant les effets des sillons qui conditionnent ces écoulements.
On s'intéresse aux équations de Navier-Stokes décrivant un écoulement de fluides visqueux autour d'un obstacle. Le domaine d'écoulement étant non borné, on chosit de poser le problème dans un cadre fonctionnel faisant intervenir des poids afin de décrire le comportement à l'infini des solutions. Pour tenir compte du sillage, des poids anisotropes sont considérés. Une première étape indispensable dans l'analyse est l'étude des équations d'Oseen qui sont une version linéarisée des équations de Navier-Stokes. Après avoir présenté les modèles, on s'intéressera aux problèmes d'existence et d'unicité.
L'optimisation de forme est l'étude des problèmes d'optimisation dont la variable est un domaine de R^d (on se restreindra au cas d=2). Je me concentrerai sur le cas où les formes admissibles sont demandées convexes. Cette contrainte géométrique rend l'analyse des conditions d'optimalité délicate. Je présenterai en première partie des conditions abstraites d'optimalité, que j'utiliserai pour exhiber une classe de fonctionnelle pour lesquelles on montre que les solutions de l'optimisation sont nécessairement polygonales (travail en collaboration avec A. Novruzi). Je m'intéresserai ensuite à l'optimisation de la seconde valeur propre du Laplacien, problème modèle qui fait ressortir des difficultés liées à la contrainte de convexité, et à la régularité des formes optimales. On montre que les formes optimales sont de classe C^{1,1/2} et pas mieux, pour ce problème. Je ferai le lien avec les EDP partiellement surdéterminées.
Cell migration is a highly integrated process where actin turnover, actomyosin contractility, and adhesion dynamics are all closely interlinked. The computational framework presented here aims to investigate the coupling between these fundamental processes. Two different applications of the model have been considered. First its relevance to describe cell migration and second its ability to predict the cell morphologies as observed on patterned substrata. In the model the cell membrane oscillations originating from the interaction between passive hydrostatic pressure and contractility are sufficient to lead to the formation of adhesion spots. Cell contractility then leads to the maturation of these adhesion spots into focal adhesions through integrins recruitment, which reciprocally stimulates reinforcement of the stress fibres. Due to active actin polymerization, which enhance protrusion at the leading edge, the traction force required for cell translocation can be generated. However, if the force is not strong enough, the maturation of the stress fibres allows to redistribute the forces throughout the cytoskeleton and the cell can thus recover a new stable shape. Numerical simulations first performed in the context of unstimulated cell migration, i.e. for a homogeneous and isotropic substratum, show that the model hypotheses are satisfactory to reproduce the main features of fibroblast cells migration as well as the well-known biphasic evolution of the cell migration speed as a function of the adhesion strength. In the context of patterned substrata, the numerical simulations allow to explain how the forces generated by the stress fibres of the virtual cells are regulated at the adhesion site through feedback mechanisms and how the competing stress fibres can generate an equilibrium state corresponding to a stable cell shape.