On s'intéresse aux équations de Navier-Stokes décrivant un écoulement de fluides visqueux autour d'un obstacle. Le domaine d'écoulement étant non borné, on chosit de poser le problème dans un cadre fonctionnel faisant intervenir des poids afin de décrire le comportement à l'infini des solutions. Pour tenir compte du sillage, des poids anisotropes sont considérés. Une première étape indispensable dans l'analyse est l'étude des équations d'Oseen qui sont une version linéarisée des équations de Navier-Stokes. Après avoir présenté les modèles, on s'intéressera aux problèmes d'existence et d'unicité.
L'optimisation de forme est l'étude des problèmes d'optimisation dont la variable est un domaine de R^d (on se restreindra au cas d=2). Je me concentrerai sur le cas où les formes admissibles sont demandées convexes. Cette contrainte géométrique rend l'analyse des conditions d'optimalité délicate. Je présenterai en première partie des conditions abstraites d'optimalité, que j'utiliserai pour exhiber une classe de fonctionnelle pour lesquelles on montre que les solutions de l'optimisation sont nécessairement polygonales (travail en collaboration avec A. Novruzi). Je m'intéresserai ensuite à l'optimisation de la seconde valeur propre du Laplacien, problème modèle qui fait ressortir des difficultés liées à la contrainte de convexité, et à la régularité des formes optimales. On montre que les formes optimales sont de classe C^{1,1/2} et pas mieux, pour ce problème. Je ferai le lien avec les EDP partiellement surdéterminées.
Cell migration is a highly integrated process where actin turnover, actomyosin contractility, and adhesion dynamics are all closely interlinked. The computational framework presented here aims to investigate the coupling between these fundamental processes. Two different applications of the model have been considered. First its relevance to describe cell migration and second its ability to predict the cell morphologies as observed on patterned substrata. In the model the cell membrane oscillations originating from the interaction between passive hydrostatic pressure and contractility are sufficient to lead to the formation of adhesion spots. Cell contractility then leads to the maturation of these adhesion spots into focal adhesions through integrins recruitment, which reciprocally stimulates reinforcement of the stress fibres. Due to active actin polymerization, which enhance protrusion at the leading edge, the traction force required for cell translocation can be generated. However, if the force is not strong enough, the maturation of the stress fibres allows to redistribute the forces throughout the cytoskeleton and the cell can thus recover a new stable shape. Numerical simulations first performed in the context of unstimulated cell migration, i.e. for a homogeneous and isotropic substratum, show that the model hypotheses are satisfactory to reproduce the main features of fibroblast cells migration as well as the well-known biphasic evolution of the cell migration speed as a function of the adhesion strength. In the context of patterned substrata, the numerical simulations allow to explain how the forces generated by the stress fibres of the virtual cells are regulated at the adhesion site through feedback mechanisms and how the competing stress fibres can generate an equilibrium state corresponding to a stable cell shape.
Dans cet exposé, nous nous intéressons à la forme optimale d'un tuyau (l'entrée et la sortie sont deux disques identiques fixés, et le volume est donné). On considère un fluide incompressible, régi par les équations de Navier-Stokes, avec des conditions au bord classiques sur la frontière du domaine (profil de vitesse imposé à l'entrée, conditions de non glissement sur la paroi latérale et une condition de pression en sortie). Nous sommes intéressés par le problème consistant à trouver la forme minimisant l'énergie ``dissipée'' par le fluide. En particulier, nous considérerons les questions suivantes : - Ce problème d'optimisation a-t-il une solution dans une classe raisonnable ? - Peut-on mettre en évidence des propriétés de symétrie pour l'optimum ? - Le cylindre est-il solution d'un tel problème ? Nous montrons que ça n'est pas le cas. Numériquement, nous exhibons des formes meilleures que le cylindre. Nous élargissons ces résultats au cas de l'arbre bronchique et tentons de retrouver numériquement sa forme en minimisant par rapport au domaine l'énergie dissipée par le fluide dans un arbre dichotomique, en 2D et 3D.
Cet exposé traite de l'utilisation du champ de phase comme méthode d'approximation de mouvements géométriques d'interfaces. Je commencerai par introduire ces méthodes dans le cadre du mouvement par courbure moyenne, où l'interface évolue de façon à minimiser le périmètre. Je m'intéresserai ensuite à la question de la conservation du volume, en présentant une méthode améliorant les résultats obtenus par les stratégies classiques. Puis je traiterai le cas du mouvement par courbure moyenne anisotrope, où l'interface évolue cette fois de façon à minimiser une énergie. Les stratégies actuelles conduisent à un opérateur non linéaire d'ordre deux difficile à traiter numériquement. Je présenterai une variante qui consiste à utiliser une approximation linéaire de cet opérateur dans la base de Fourier. Je terminerai l'exposé par une introduction aux curvelets, une base d'analyse multirésolution nouvelle génération introduite par Candes et Donoho dans les années 2000, et qui pourrait être une alternative à la base de Fourier dans le traitement d'anisotropies localisées.
La peau est un milieu complexe qui peut être décrit, en première approximation, comme une fine structure multicouche. Dans l'exposé, je donnerai tout d'abord un aperçu des principaux tests expérimentaux qui sont couramment utilisés pour mesurer les propriétés mécaniques de la peau. Dans un deuxième temps, je discuterai certaines techniques non invasives utilisées aujourd'hui pour caractériser les détails anatomiques de la peau. Dans un troisième temps, j'illustrerai les modèles plus largement utilisés pour décrire la mécanique de la peau, avec un focus spécial sur les approches couplant simulation et expérience pour la caractérisation des propriétés biomécaniques des différentes couches dermiques. Exemples de la littératures et développement récents au sein des nos laboratoires seront discutés. La conclusion de l'exposé permet d'ouvrir des portes vers des domaines encore peu explorés: la modélisation multi-échelle et la mécanobiologie de la peau.
Dans cet exposé, nous abordons différentes problématiques pour des fluides complexes dans des écoulements de faible épaisseur. Dans un premier temps, nous nous intéressons à des écoulements de fluides non-newtoniens décrits par la loi d'Oldroyd-B, qui prend en compte les effets élastiques. Dans le cas où l'épaisseur du domaine tend vers zéro, on trouve heuristiquement une équation limite pour le système Navier-Stokes/Oldroyd. Nous montrons la convergence rigoureuse du système vers l'équation limite, et donnons quelques résultats de régularité sur le système limite. Dans un deuxième temps, nous regardons des écoulements diphasiques en film mince. L'aspect diphasique est pris en compte par un modèle dit ''à interface diffuse'', le modèle de Cahn-Hilliard. Là aussi, un système limite est obtenu heuristiquement. Celui-ci est un système couplé entre une équation de Reynolds modifiée et une équation de Cahn-Hilliard. Nous nous consacrons à l'étude théorique de ce système, et nous exposons quelques résultats numériques.
Nous nous intéresserons à deux problèmes de couplage fluide-structure mettant en jeu un fluide visqueux incompressible avec soit une membrane élastique, soit un solide rigide. Nous aborderons d'abord la question de la stabilité numérique pour le premier modèle, dans le cas d'une formulation Frontière Immergée + Level-Set. La mise en place de schémas implicites pour ce type de modèles étant très coûteuse, nous essayerons plutôt de comprendre quelles sont les causes de l'instabilité numérique pour des couplages explicites ou semi-implicites. Dans le cas du couplage fluide-solide rigide, nous présenterons une méthode de pénalisation, dans laquelle la vitesse rigide est calculée par projection, et pour laquelle un traitement implicite naturel du terme de pénalisation permet de satisfaire la contrainte de rigidité avec précision dans le solide.
Dans divers domaines d'application on cherche à calculer la force verticale exercée par un fluide sur un solide se translatant parallèlement au sol. Les enjeux sont à la fois théoriques et numériques. Sur le plan théorique, il s'agit de résoudre les équations de Navier Stokes stationnaires dans un domaine non borné avec conditions aux bords sur le solide. Sur le plan numérique, on cherche des conditions aux bords pour les calculs qui sont effectués sur des domaines bornés. Je présenterai différentes attaques de ces problèmes à l'aide de méthodes variationnelles et de méthodes constructives basées sur la transformation de Fourier.
The main purpose of the tsunami generation modelling is to provide an initial condition for various long wave propagation numerical codes. This research topic is substantially underexplored since it is situated on the cross-section of several disciplines such as seismology, hydrodynamics and geophysics. We will begin this presentation by describing classical techniques and mathematical tools currently used to construct the initial condition. Then, we will discuss some shortcomings of traditional approaches. To overcome them, state of the art methods will be introduced. Finally, very recent results on the mud layer influence will be presented.
La tomographie d’impédance électrique est une technique très utilisée en imagerie médicale, car c’est un outil de diagnostic peu onéreux, portable, qui permet de suivre en temps réel l’évolution fonctionnelle de tissus biologiques. Cependant, la résolution spatiale des images obtenues n’est pas très fine : c’est une conséquence du caractère mal posé des problèmes inverses. L’amélioration de la reconstruction requiert la prise en compte d’information supplémentaire sur la constitution du milieu à imager. Dans cet esprit, de nombreux travaux récents se sont intéressés au problème de la détection d’inhomogénéités de petite taille plongées dans un milieu de référence aux propriétés connues. Des méthodes de reconstruction stables et efficaces ont été proposées dans ce contexte. Dans le cas d’un milieu quelconque, notre idée est de perturber les mesures électriques en créant des inhomogénéités de petite taille, à l’aide d’ondes ultrasonores focalisées à l’intèrieur du milieu. En supposant que le changement de la conductivité du à la perturbation est proportionnel à la valeur locale de la conductivité, nous montrons que la résolution du problème inverse de détermination de la conductivité se ramène à la résolution d’une EDP non-linéaire. Nous présentons des résultats numériques de reconstruction par cette technique.
Nous présenterons des modèles multi-échelles pour les fluides non- newtoniens, basés sur un couplage entre les équations de conservation macroscopiques, et des équations cinétiques pour décrire l'évolution des microstructures à l'échelle microscopique. Nous nous intéresserons en particulier aux fluides polymériques. Dans ce cas, les microstructures sont de longues chaînes carbonées, approximées (dans le modèle le plus simple) par deux billes reliées par un ressort (modèle des haltères). Une équation différentielle stochastique (EDS) régit l'évolution du vecteur ``bout-à-bout'' joignant une des billes à l'autre. La contribution des polymères au tenseur des contraintes s'obtient (en chaque point) comme une moyenne sur la conformation des polymères. Le système complet couple donc une équation aux dérivées partielles (EDP) pour l'évolution de la vitesse et de la pression, à des EDSs posées en chaque point du fluide. De nombreuses questions mathématiques et numériques se posent pour de tels systèmes : caractère bien posé, comportement en temps, convergence de méthodes de discrétisations couplant méthodes de Monte Carlo et méthode des éléments finis, etc... Nous donnerons une revue des résultats les plus récents.
Un des objectifs en dynamique moléculaire est d'échantillonner des mesures de Boltzmann-Gibbs en grande dimension, pour calculer par moyenne statistique dans l'ensemble NVT des quantités macroscopiques (constantes de réactions chimiques, constantes de diffusion, etc...). Les méthodes numériques sont typiquement basées sur des limites ergodiques pour des processus de Markov solutions d'équations différentielles stochastiques. La difficulté provient de l'existence de puits de potentiel qui piègent les particules et ralentissent la convergence des méthodes trop naives. Nous présenterons une classe de méthodes adaptatives qui permettent d'explorer plus rapidement l'espace des configurations, en modifiant au cours du temps le potentiel vu par les particules (processus de Markov non-homogène et non-linéaire). Ces méthodes permettent d'obtenir en temps long des quantités importantes en pratique (loi d'une marginale associée à une variable lente du système). Nous proposerons une preuve de convergence de ces méthodes, basée sur des techniques d'entropie.
Nous présentons dans ce document des modèles d'écoulements bicouches. Il s'agit de modèles d'écoulement en eaux peu profondes et de modèles de transport de sédiments. Nous dérivons dans un premier temps des modèles de Saint-Venant visqueux, bicouches et bidimensionnels en supposant que l'écoulement est composé de deux fluides immiscibles (cas du détroit de Gibraltar). Nous donnons quelques résultats numériques sur les modèles visqueux dérivés. On étend alors les résultats d'existence de solutions obtenus dans le cas monocouche au cas bicouches. Dans cette analyse, la difficulté provient des termes de frottement au vu des multiplicateurs utilisés dans les estimations d'entropies. Nous proposons ensuite de nouveaux modèles de transport de sédiments énergétiquement consistants pour lesquels nous obtenons des résultats théoriques de stabilité. Enfin, nous développons une nouvelle version flux limiteur de schéma numérique volumes finis, bien équilibré, en combinant un schéma de type Roe et de Lax-Wendroff, tous deux étant construits en tenant compte de la variation tangentielle des quantités. Ce schéma numérique est utilisé pour simuler le transport de sédiment.
Dans cet exposé nous allons faire une présentation de notre code d'hydrodynamique côtière VOLNA. Tout d'abord, nous commençons par le contexte physique de cette étude qui tourne autour des tsunamis, de la simulation numérique du run-up et du couplage avec des modèles phase moyennée. Ensuite, nous passerons par une brève présentation des méthodes numériques mises en oeuvre dans notre code. Notamment, nous utilisons un schéma volumes finis d'ordre deux avec un maillage triangulaire non structuré. La complexité géométrique de la ligne côtière justifie l'utilisation de ce type de maillages. Ce schéma a été initialement développé dans le cadre des écoulements diphasiques. Mathématiquement nous résolvons pour l'instant les équations de Saint-Venant et nous travaillons actuellement sur une extension au système de Boussinesq. Finalement, nous montrerons quelques cas-tests assez réalistes pour faire preuve des perfomances du code.