On présente dans cet exposé des méthodes de restauration d'images (inpainting) par des EDPs d'ordre deux et d'ordre quatre. L'approche adaptative permet de construire (et ajuster) les modèles proposés de manière dynamique a fin de rétablir au mieux les composantes géométriques d'une image endommagée (arêtes, coins, ...) tout en respectant les courbures. Ces méthodes consistent en une famille d'énergies discrètes, faciles à minimiser, qui $Gamma$-convergent vers des fonctionnelles de type Mumford-Shah et donnent lieu à des algortihmes efficaces.
La reformulation du système Euler 2d incompressible sous la forme d'une inclusion différentielle par De Lellis et Székelyhidi (cf. e.g. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 49, 347-375) a permis d'appliquer le h-principe à plusieurs familles d'équations de la mécanique des fluides en 2d. De telles techniques fournissent alors une myriade de solutions faibles, indiquant que le problème de Cauchy est mal posé au sens de Hadamard. Pour le système compressible isentropique 2d, des conditions suffisantes pour l'apparition de ces solutions non-standard'' peuvent s'exprimer sous la forme de relations algébriques (évoquant un peu le théorème de Lax), simplifiant beaucoup leur mise en œuvre. Ainsi, il est possible de construire explicitement, dans le cas $gamma=3$, des données initiales Lipschitz générant une infinité de solutions faibles après l'apparition du choc. Qu'en est-il de la situation sur le plan numérique ? En suivant des indications issues de certaines publications de P.L. Roe dans les années 90's, on observe que plusieurs schémas basés sur le splitting dimensionnel font apparaitre des tourbillons aux endroits où les oscillations doivent se développer dans les solutions non-standard exactes. Tout ceci semble être cohérent avec certaines caractéristiques spécifiques à ce type de solutionssurprenantes''. (joint work with Dr. Elisabetta Chiodaroli, with assistance from Drs. Denise Aregba and Roger Kappeli)
Dans ce travail, on s’intéresse à des configurations optimales de ressources (typiquement des denrées alimentaires) nécessaires à la survie d’une espèce, dans un espace fermé. A cette fin, nous utilisons un modèle dit logistique pour décrire l’évolution de la densité d’individus constituant cette population. Cette équation fait intervenir une fonction représentant la répartition hétérogène (en espace) des ressources. La question principale traitée dans cet exposé peut se formuler ainsi : comment répartir de façon optimale des ressources dans un habitat ? Elle est reformulée comme un problème extremal de valeur propre, dans lequel on cherche à minimiser la valeur propre principale d’un opérateur par rapport au domaine occupé par les ressources. Nous présenterons dans cet exposé de nouveaux résultats complétant l’analyse de ces problèmes, tels que la caractérisation complète des solutions en dimension 1 ou pour des formes d’habitat particulières en dimension supérieure, ainsi que de nombreuses propriétés qualitatives. Il s'agit de travaux en cours, en collaboration avec Jimmy Lamboley (univ. Paris Dauphine), Antoine Laurain (univ. Sao Paulo), Grégoire Nadin (univ. Paris 6).
Le but de cet exposé est de présenter certaines des méthodes de dérivation de modèles continus à partir de systèmes de particules. Ce type de modèle s'est beaucoup développé et est très largement sorti du cadre purement physique: modèles multi-agents en économie, dynamique d'opinion en sciences sociales, ou dynamique de cellules/micro-organismes en biologie. Du fait du très grand nombre de particules ou agent, le comportement de ces systèmes est a priori particulièrement complexe. Un des enjeux principaux des dérivations de champ moyen est de comprendre comment la limite vers un modèle continu (équations de Vlasov...) contribue à réduire cette complexité.
Beaucoup d'applications nécessitent de pouvoir considérer des champs de vitesses de propagation non nécessairement réguliers. Nous montrerons lors de cet exposé comment encoder la possible perte de régularité. Ceci requiert une analyse plus précise de la structure des équations combinée à une nouvelle approche de la compacité de l'équation de continuité par l'introduction de poids appropriés. Cette méthode a été introduite en collaboration avec Pierre-Emmanuel Jabin (CSCAMM, University of Maryland) et a notamment permis de résoudre deux problèmes jusque là encore ouvert: Existence globale de solutions faibles pour Navier-Stokes compressible avec pression thermo-dynamiquement instable et avec tenseur anisotrope. Nous discuterons la méthode, énoncerons les résultats dans leur généralité et présenterons la portée d'une telle méthode sur d'autres applications possibles.
In this talk we start by introducing the Euler and the original Green-Naghdi systems for the propagation of internal waves of two immiscible, ideal, incompressible irrotational fluids under the shallow water hypothesis. After we introduce different new asymptotic models in the Green-Naghdi regime. We will discuss and compare qualitative proprieties of this different models regarding, inter alia, their frequency dispersion propriety and its influence on the high-frequency Kelvin-Helmholtz instabilities. All our new asymptotic models are fully justified.
It might appear that solving initial value problems in the past'' is of little interest at an institution dedicated toinventing the future.'' However, this impression is deceiving. It is actually of great interest to know how the present influences the future or whether it impacts the future at all. In this context, backward uniqueness (inverting the future) becomes of paramount significance. As is taught in every beginning course on complex analysis, the modulus of an analytic function on a bounded domain has its maximum on the boundary. The Phragmen-Lindeloef theorem extends this result to unbounded regions, under the assumption of a suitable growth condition at infinity. In this talk, it will be shown how the Phragmen-Lindeloef theorem can be used to prove backward uniqueness for linear partial differential equations. Examples include problems which in a sense are perturbations of cases where backward uniqueness does not hold. In particular, we shall show how backward uniqueness can be obtained for the linearized equations of compressible fluid flow and for the damped wave equation with absorbing boundary conditions.
Les réseaux de nano-fils ferromagnétiques représentent maintenant dans le domaine de la nano-électronique. Les propriétés géométrique de ces objets conditionnent la dynamique des charges magnétiques qui peuvent ainsi être piégées et être utilisées dans les cadre de systèmes de stockage d’information particulièrement stables. Dans cet exposé, nous proposerons un aperçu des modèles existants de nano-fils vus comme structures asymptotiques d’objets tridimensionnels. Ensuite, nous nous concentrerons sur la modélisation des connexions entre objets et la version discrète du modèle ainsi obtenu.
Les effets de rugosité font l'objet de nombreuses expériences et travaux de modélisation en mécanique des fluides, notamment en microfluidique ou pour l'étude d'écoulements turbulents. Du point de vue mathématique, il s'agit de problèmes d'homogénéisation dans lesquels des motifs géométriques présents sur la paroi imposent de nouvelles contraintes sur l'écoulement lorsque les échelles caractéristiques des aspérités tendent vers zéro. Dans cet exposé, nous présenterons quelques résultats connus décrivant les effets de rugosité, ainsi qu'un résultat récent concernant un type de paroi spécifique, les riblets ondulés (``wavy riblets''), obtenu en collaboration avec Francisco Suarez-Grau (Université de Séville). Nous présenterons enfin un travail en cours sur l'analyse des effets de rugosité pour un modèle de turbulence.
L’objet de cette présentation est d’introduire une généralisation du théorème de compacité en temps d'Aubin en prenant en compte le fait qu'en analyse numérique les espaces considérés dépendent de la discrétisation spatiale utilisée. Ensuite je proposerai une version qui pourra s’appliquer dans un contexte numérique. Nous utiliserons ensuite cette version discrète dans le cadre d’une discrétisation MAC d’un modèle simplifié du système de Navier-Stokes compressible, introduit par Lions (1998), et qui trouve son application dans la dynamique des vortex dans la théorie de Ginzburg-Landau sur la supraconductivité.
Climate research is faced with a multitude of scientific problems that originate from a wide range of scientific disciplines. Most often, climate research is associated intuitively with atmosphere-ocean science, yet this constitutes only the baseline. Studies of floods and droughts, for instance, require insight from Hydrology, and research into climate impacts'' calls for input from sociology, economy, and ecology. Mathematics has many different roles to play in this challenging research field. In this lecture I will discuss three examples that highlight very different types of contributions mathematics can and does make to deepen our understanding of geophyical fluid dynamics, to help extracting the essence behind complex observational and simulation data, and to support difficult interdisciplinary dialogues. Specifically, these examples involve multiple scales analyses of atmospheric motions, novel approaches to complex time series analysis, and a mathematical formalization of the notion ofvulnerabilty''.
Ce travail est essentiellement consacré aux problèmes de stabilité liés au développement de schémas numériques associés aux modèles d’écoulement classiques utilisés notamment en océanographie côtière. Dans un premier temps nous détaillons la construction d’une approche Volumes Finis pour le système Shallow Water avec termes sources sur maillages non structurés. En se basant sur une reformulation appropriée des équations, nous mettons en place un schéma équilibré et préservant la positivité de la hauteur d’eau. Le schéma est capable de gérer des topographies irrégulières et exhibe de fortes propriétés de stabilité. Nous proposons ensuite son extension aux approches Elements Finis type Galerkin discontinu pour des résolutions d’ordre arbitraire. L’approche est finalement étendue aux équations dispersives, et plus précisément à une nouvelle famille d’équations Green-Naghdi. Des validations numériques seront proposées pour évaluer la version opérationnelle 2d sur maillages triangulaires venant d’être développée.
On s'intéresse au comportement de grande échelle de solutions d'EDP linéaires à coefficients aléatoires. La théorie qualitative de l'homogénéisation assure que de telles solutions sont proches de solutions d'EDP à coefficients constants, ``homogénéisés''. Le but de l'exposé sera de présenter une nouvelle méthode permettant de rendre cet énoncé de convergence quantitatif, en supposant que les coefficients sont suffisamment mélangeants. Travail en collaboration avec S. Armstrong et T. Kuusi.
La migration cellulaire joue un rôle fondamental dans bien des processus physiologiques, tels que l'embryogenèse, la cicatrisation, ou encore la formation de métastases. Or, le comportement migratoire d'une cellule est le résultat d'une activité complexe intégrée sur différentes échelles spatiales et temporelles, rendant sa compréhension difficile. Nous nous intéressons ici à la reptation de cellules placées sur une surface adhésive plane. Dans un premier temps, je présenterai un modèle stochastique sans géométrie, où le mouvement d'une cellule ponctuelle se base sur une activité cellulaire observable et dénombrable. Les simulations numériques produisent des trajectoires réalistes pour différents systèmes expérimentaux. Du point de vue théorique, il est possible d'en déduire une caractérisation analytique de différents comportements migratoires par une équation de Fokker-Planck, montrant ainsi la richesse du modèle. Dans un second temps, je présenterai un modèle déterministe de migration où la géométrie est prise en compte, permettant de faire le lien avec un régulateur moléculaire de la migration. Nous verrons que ce travail, s'approchant d'un modèle minimal de migration multi-échelles, porte également des perspectives riches, comme la modélisation du mouvement collectif d'une population de cellules en interaction.
We develop the concept of Dafermos' relative entropy/energy in the context of fluid dynamics, in particular, for compressible viscous fluids. We discuss possible applications of the method to various problems: Flows in thin channels, weak-strong uniqueness, singular limits, stochastic perturbations and/or convergence of numerical schemes.
Une équation différentielle de Lotka-Volterra décrit l'évolution de deux populations en compétition. Selon les paramètres, elle peut favoriser l'une ou l'autre des espèces ou aboutir à un équilibre. Supposons à présent que l'on dispose de deux systèmes de ce type, tous deux favorables à la même espèce. On s'intéresse au comportement (possiblement surprenant) du processus aléatoire obtenu en suivant alternativement chacune des évolutions durant des temps aléatoires.
Dans ce travail en collaboration avec François Delarue (Nice) et Nicolas Vauchelet (Paris 6), nous étudions l'ordre d'approximation du schéma décentré amont pour le transport conservatif (équation de continuité) en dimension d'espace quelconque, sur maillage cartésien, pour des champs de vitesse lipschitziens à droite. La difficulté est que ces champs de vitesse peuvent être discontinus et qu'en conséquence les solutions sont des mesures. L'analyse du caractère bien posé repose sur les travaux de Filippov pour les équations différentielles, et de Poupaud et Rascle pour les EDP, dont nous utilisons les outils et les résultats. Notre analyse est basée sur une interprétation probabiliste de l'algorithme (déterministe), dont nous montrons qu'il est l'espérance d'un algorithme aléatoire (ce travail est l'extension d'un résultat obtenu avec François Delarue il y a quelques années pour des champs de vitesse lipschitziens sur maillages quelconques).