La migration cellulaire joue un rôle fondamental dans bien des processus physiologiques, tels que l'embryogenèse, la cicatrisation, ou encore la formation de métastases. Or, le comportement migratoire d'une cellule est le résultat d'une activité complexe intégrée sur différentes échelles spatiales et temporelles, rendant sa compréhension difficile. Nous nous intéressons ici à la reptation de cellules placées sur une surface adhésive plane. Dans un premier temps, je présenterai un modèle stochastique sans géométrie, où le mouvement d'une cellule ponctuelle se base sur une activité cellulaire observable et dénombrable. Les simulations numériques produisent des trajectoires réalistes pour différents systèmes expérimentaux. Du point de vue théorique, il est possible d'en déduire une caractérisation analytique de différents comportements migratoires par une équation de Fokker-Planck, montrant ainsi la richesse du modèle. Dans un second temps, je présenterai un modèle déterministe de migration où la géométrie est prise en compte, permettant de faire le lien avec un régulateur moléculaire de la migration. Nous verrons que ce travail, s'approchant d'un modèle minimal de migration multi-échelles, porte également des perspectives riches, comme la modélisation du mouvement collectif d'une population de cellules en interaction.
We develop the concept of Dafermos' relative entropy/energy in the context of fluid dynamics, in particular, for compressible viscous fluids. We discuss possible applications of the method to various problems: Flows in thin channels, weak-strong uniqueness, singular limits, stochastic perturbations and/or convergence of numerical schemes.
Une équation différentielle de Lotka-Volterra décrit l'évolution de deux populations en compétition. Selon les paramètres, elle peut favoriser l'une ou l'autre des espèces ou aboutir à un équilibre. Supposons à présent que l'on dispose de deux systèmes de ce type, tous deux favorables à la même espèce. On s'intéresse au comportement (possiblement surprenant) du processus aléatoire obtenu en suivant alternativement chacune des évolutions durant des temps aléatoires.
Dans ce travail en collaboration avec François Delarue (Nice) et Nicolas Vauchelet (Paris 6), nous étudions l'ordre d'approximation du schéma décentré amont pour le transport conservatif (équation de continuité) en dimension d'espace quelconque, sur maillage cartésien, pour des champs de vitesse lipschitziens à droite. La difficulté est que ces champs de vitesse peuvent être discontinus et qu'en conséquence les solutions sont des mesures. L'analyse du caractère bien posé repose sur les travaux de Filippov pour les équations différentielles, et de Poupaud et Rascle pour les EDP, dont nous utilisons les outils et les résultats. Notre analyse est basée sur une interprétation probabiliste de l'algorithme (déterministe), dont nous montrons qu'il est l'espérance d'un algorithme aléatoire (ce travail est l'extension d'un résultat obtenu avec François Delarue il y a quelques années pour des champs de vitesse lipschitziens sur maillages quelconques).
La théorie des jeux à champ moyen a été initée par Lasry et Lions il y a une dizaine d'années. Le but est de décrire le comportement asymptotique d'équilibres de Nash sur une grande population de joueurs en interaction champ moyen. Dans ce cadre, très peu de critères sont connus pour garantir l'unicité des équilibres asymptotiques. Inspirés par la théorie des EDO et EDS, nous posons ici la question du rétablissement de l'unicité par randomisation des solutions.
In this talk we will focus on two-fluid formulations where the fluids are assumed to be compressible and viscosity effects are included in the momentum equations. In the introduction we try to motivate for the study of this model: why can such models be a useful tool for engineers. Then we will narrow the scope and describe a two-fluid model for cell migration. This model can be understood as a generalization of more classical Keller-Segel type of models for cell migration due to random motion and chemotaxis. The model takes the form of a (weakly) compressible two-fluid model with non-conservative pressure terms and interaction terms that play a key role in the momentum equations. The link to Keller-Segel type of models is established by imposing simplifying assumptions and making a specific choice of the interaction term. Existence of global regular solutions for the proposed model for cell migration is then obtained for sufficiently small and regular initial data. The central ingredient in the proof is a basic energy estimate which is combined with certain higher order estimates of cell mass, water mass, and mass of the chemical agent. We also include some examples of numerical solutions of the proposed model that demonstrate pattern formation properties characteristic for Keller-Segel type of models. Sensitivity to different parameters is explored. Finally, we also show some numerical results for a 2D version of a similar model.
I will report on some recent progress on optimization problems involving the first Dirichlet eigenvalue and the torsional rigidity. This is joint work with G. Buttazzo, B. Velichkov and with C. Trombetti, C. Nitsch, V. Ferone.
L'équation Landau est une caricature ``diffusive'' de l'équation de Boltzmann, décrivant la densité de particules interagissant lors de chocs. Nous allons nous intéresser ici à l'approximation particulaire de l'équation de Landau dans le cas Maxwellien ou sphère dure et montrerons comment établir la propriété de propagation du chaos soit le fait que la loi d'une particule approche la solution de l'équation de Landau et que deux particules typiques sont presque indépendantes. (en collaboration avec F. Bolley (P6) et N. Fournier (P6))
Dans cet exposé nous présenterons les bases d’un modèle de température pour les matériaux ferromagnétiques. Dans un premier temps nous ferons le lien entre différentes échelles de description à température nulle des matériaux ferromagnétiques. Nous irons de l’échelle microscopique des atomes aux noyaux localisés sur des points, à l’échelle mésoscopique du micromagnétisme. Dans un second temps nous nous focaliserons sur l’échelle microscopique perturbée par un champ extérieur aléatoire modélisant les effets thermiques.
In this talk we present the starting mechanical model of the lamellipodial actin-cytoskeleton meshwork. The model is derived starting from the microscopic description of mechanical properties of laments and cross-links and also of the life-cycle of cross-linker molecules]. We introduce a simplified system of equations that accounts for adhesions created by a single point on which we apply a force. We present the adimensionalisation that led to a singular limit that motivated our mathematical study. Then we explain the mathe- matical setting and results already published. In the last part we present the latest developments : we give results for the fully coupled system with unbounded non-linear o-rate. This leads to two possible regimes : under certain hypotheses on the data there is global existence, out of this range we are able to prove blow-up in nite time.
We consider mathematical models at macroscopic scale to describe tumor growth. In this view, tumor cells are considered as an elastic material subjected to mechanical pressure. Two main classes of model can be encountered: those describing the dynamics of tumor cells density and those describing the dynamic of the tumor thanks to the motion of its domain. These latter models are free boundary problem. We will show that such free boundary problem of Hele-Shaw type can be derived thanks to an incompressible limit from models describing the dynamics of cells density. Moreover, for this model we study the existence of travelling waves, allowing to describe the spread of the tumor.