In this talk we will focus on two-fluid formulations where the fluids are assumed to be compressible and viscosity effects are included in the momentum equations. In the introduction we try to motivate for the study of this model: why can such models be a useful tool for engineers. Then we will narrow the scope and describe a two-fluid model for cell migration. This model can be understood as a generalization of more classical Keller-Segel type of models for cell migration due to random motion and chemotaxis. The model takes the form of a (weakly) compressible two-fluid model with non-conservative pressure terms and interaction terms that play a key role in the momentum equations. The link to Keller-Segel type of models is established by imposing simplifying assumptions and making a specific choice of the interaction term. Existence of global regular solutions for the proposed model for cell migration is then obtained for sufficiently small and regular initial data. The central ingredient in the proof is a basic energy estimate which is combined with certain higher order estimates of cell mass, water mass, and mass of the chemical agent. We also include some examples of numerical solutions of the proposed model that demonstrate pattern formation properties characteristic for Keller-Segel type of models. Sensitivity to different parameters is explored. Finally, we also show some numerical results for a 2D version of a similar model.
I will report on some recent progress on optimization problems involving the first Dirichlet eigenvalue and the torsional rigidity. This is joint work with G. Buttazzo, B. Velichkov and with C. Trombetti, C. Nitsch, V. Ferone.
L'équation Landau est une caricature ``diffusive'' de l'équation de Boltzmann, décrivant la densité de particules interagissant lors de chocs. Nous allons nous intéresser ici à l'approximation particulaire de l'équation de Landau dans le cas Maxwellien ou sphère dure et montrerons comment établir la propriété de propagation du chaos soit le fait que la loi d'une particule approche la solution de l'équation de Landau et que deux particules typiques sont presque indépendantes. (en collaboration avec F. Bolley (P6) et N. Fournier (P6))
Dans cet exposé nous présenterons les bases d’un modèle de température pour les matériaux ferromagnétiques. Dans un premier temps nous ferons le lien entre différentes échelles de description à température nulle des matériaux ferromagnétiques. Nous irons de l’échelle microscopique des atomes aux noyaux localisés sur des points, à l’échelle mésoscopique du micromagnétisme. Dans un second temps nous nous focaliserons sur l’échelle microscopique perturbée par un champ extérieur aléatoire modélisant les effets thermiques.
In this talk we present the starting mechanical model of the lamellipodial actin-cytoskeleton meshwork. The model is derived starting from the microscopic description of mechanical properties of laments and cross-links and also of the life-cycle of cross-linker molecules]. We introduce a simplified system of equations that accounts for adhesions created by a single point on which we apply a force. We present the adimensionalisation that led to a singular limit that motivated our mathematical study. Then we explain the mathe- matical setting and results already published. In the last part we present the latest developments : we give results for the fully coupled system with unbounded non-linear o-rate. This leads to two possible regimes : under certain hypotheses on the data there is global existence, out of this range we are able to prove blow-up in nite time.
We consider mathematical models at macroscopic scale to describe tumor growth. In this view, tumor cells are considered as an elastic material subjected to mechanical pressure. Two main classes of model can be encountered: those describing the dynamics of tumor cells density and those describing the dynamic of the tumor thanks to the motion of its domain. These latter models are free boundary problem. We will show that such free boundary problem of Hele-Shaw type can be derived thanks to an incompressible limit from models describing the dynamics of cells density. Moreover, for this model we study the existence of travelling waves, allowing to describe the spread of the tumor.
Dans cet exposé, on s'intéressera aux équations de Navier-Stokes compressibles en régime hautement compressible (le Nombre de Mach tendant vers l'infini). On se placera dans le cadre de coefficients de viscosités vérifiant une relation algébrique introduite par D. Bresch et B. Desjardins en dimension supérieure à deux incluant le cas bien connu du système de Shallow Water. On montrera alors que les solutions faibles de Navier-Stokes compressible convergent selon les cas vers les équations des milieux poreux. Une partie de ces travaux a été effectuée en collaboration avec Ewelina Zatorska.
Dans cet exposé, nous proposons un modèle décrivant les mouvements d'un grand nombre de cellules auto-propulsées. Les interactions entre les cellules, par l'intermédiaire du fluide environnant, sont modélisées par des interactions d'alignement (de type Vicsek). La forme discoïdale des cellules impose également des contraintes sur leurs inclinaisons. En prenant la limite champ moyen puis la limite hydrodynamique, nous obtenons un modèle macroscopique décrivant la dynamique à grande échelle: c'est un système hyperbolique avec terme source. Nous présentons des simulations numériques de ce modèle et nous discutons l'adéquation entre modèles particulaire et macroscopique. Ce travail est issu d'une collaboration avec Pierre Degond.
Dans cet exposé, nous commencerons par définir l'espace métrique des nombres p-adiques comme complété du corps des rationnels pour la valeur absolue p-adique. Cette distance vérifie l'inégalité ultramétrique ce qui induit des propriétés topologiques très différentes de la topologie réelle. Néanmoins les boules sont compactes et il existe une mesure de Haar. On peut alors définir une intégrale et développer une analyse harmonique similaire à la théorie classique réelle. Nous donnerons ensuite l'exemple de l'espace métrique des séries formelles à coefficients complexes muni de sa distance t-adique. Dans ce contexte les boules ne sont plus compactes mais il existe néanmoins une théorie de l'intégration et une notion de finitude fournie par des théorèmes de logique. Nous esquisserons cela. Nous rappellerons enfin la notion de front d'onde d'une distribution à la Hormander en analyse réelle et nous conclurons l'exposé en donnant les idées de construction de son analogue dans les cadres ultramétriques précédents. L'esprit de cet exposé sera celui d'un colloquium, où l'on présentera en priorité des idées et des exemples.
Dans cet exposé, je présenterai des résultats obtenus sur l'apparition de contact entre solides rigides dans un fluide visqueux et expliquerai comment la méthode de preuve est reliée au calcul d'asymptotique des solutions du problème de Stokes dans des domaines développant des cusps. Je présenterai ces calculs asymptotiques et discuterai leur adaptation au cas où les solides ne sont plus supposés rigides.
Le modèle de Saint Venant (Shallow Water) est largement utilisé depuis son introduction en 1871 pour modéliser des écoulements dont la hauteur est faible en vis-à-vis de la longueur. Il est obtenu en intégrant les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement sur toute la hauteur d'eau. Sa forme traditionnelle repose sur l'approximation de fluide parfait, bien que des termes de friction soient ajoutés afin de prendre en compte la viscosité du fluide. Nous allons adopter la même stratégie d'une moyenne sur la hauteur d'eau mais elle sera couplée avec une fine couche visqueuse. De cette façon, le terme de friction apparaîtra naturellement dans le modèle intégré. Il sera cependant contrebalancé par un terme de pression modifiée. Ce modèle possède de bonnes propriétés pour le frottement, notamment que son maximum soit placé avant le sommet d'une bosse sur fond plat. Ce phénomène naturel était absent du modèle de Saint Venant.
In this talk we analyze evolutionary integral based methods for image restoration. In these models, the image evolves according to Volterra type equations and the diffusion is controlled by a convolution kernel. The discussion will involve well-posedness, scale-space properties and long-term behaviour in the continuous and discrete cases, and will include some numerical experiments to illustrate the performance of the models in image denoising and contour detection.