Nous discuterons des notions différentes du concept de linéarisation des systèmes non linéaires de contrôle : à l’aide de difféomorphismes dans l’espace d’état, par bouclage, par bouclage orbital et par precompensation dynamique. Pour les trois premières notions nous rappellerons des conditions géométriques nécessaires et suffisantes pour la linéarisation et donnerons des méthodes de construire les transformations linéarisantes. Ensuite, on se concentrera sur les systèmes linéarisables par bouclage dynamique, dits systèmes plats. Nous présenterons des plusieurs définitions équivalentes (en particulier, des relations avec la notion de l’équivalence absolue de Cartan) et discuterons des difficultés principales qui empêchent l’obtention des conditions nécessaire et suffisantes. Nous présenterons des solutions complètes dans des cas particuliers (distributions de contact ou les systèmes de poids différentiel minimal).
Nous nous intéresserons aux liens qui existent entre deux échelles de modélisation neurobiologique. À un niveau microscopique, l'activité électrique de chaque neurone est représentée par un processus ponctuel. À une plus grande échelle, un système d'EDP structuré en âge décrit la dynamique moyenne de ces activités. Nous montrerons que le modèle macroscopique (système d'EDP) peut se retrouver à partir d'un réseau de $n$ neurones en champ-moyen quand $n$ tend vers $+infty$ via une Loi des grands nombres''. De plus, les fluctuations du réseau de $n$ neurones autour du comportement limite/macroscopique sont caractérisées par unThéorème central limite''. Cette étude finale permet la dérivation d'un système d'EDP stochastique, plus proche de la dynamique microscopique que le système d'EDP classique.
Il s'agit d'un travail conjoint avec Ilaria Lucardesi et Gérard Philippin Dans cet exposé, nous revisitons deux problèmes elliptiques très classiques: le problème de la torsion (ou de St Venant): -Δu = 1 dans Ω avec u=0 sur le bord et la première valeur propre λ(Ω) du Laplacien-Dirichlet. Désignant par M(Ω) le maximum de la fonction torsion u, nous cherchons des bornes, si possible optimales, pour les deux fonctionnelles F(Ω)=∫Ω u dx/(M(Ω) /|Ω|)$ et G(Ω)=M(Ω) λ(Ω).
Two polynomials f and g are said to be algebraically dependent over a field K if there exists a non-zero bivariate polynomial A with coefficients in K such that A(f,g)=0. If no such polynomial exists, we say that f and g are independent. This is a natural generalization of linear independence to higher degrees. We consider the problem of finding an algorithm to test whether the given set of polynomials are algebraically independent. When the field has characteristic zero, this problem has a randomised polynomial time algorithm using the Jacobian Matrix of the given polynomials. However the criterion fails when the polynomials are taken over the fields of positive characteristic. One can expect that the positive characteristic case also has an efficient algorithm for testing algebraic independence, however, the existing best known upper bound is very far from desired. The talk will cover a result which is an attempt to bridge this gap. We present a new algorithm which is based on a refined generalisation of Jacobian criterion in case of fields of positive characteristic. It also yields a structural result about the algebraically dependent polynomials - approximate functional dependence.
Soient f1,...,fp des polynômes quadratiques en n variables lacunaires (fewnomials) à coefficients dans un corps K, tels que le système f1 = ... = fp = 0 n'admette pas de solution sur la clôture algébrique de K. On s'intéresse dans cet exposé à une version effective du Nullstellensatz : sous quels conditions sur le support monomial de f1,...,fp existe-t-il probablement des polynômes g1,...,gp ``petits'' tels que f1g1 + ... + fpgp = 1 ? Nous montrerons que lorsque le nombre de carrés dans le support monomial excède n^(1/2+epsilon), que le support est tiré aléatoirement parmi ceux de cardinalité n+k+1 (pour une constante k fixée) et sous des hypothèses de généricité sur les coefficients, il existe des certificats (g1,...,gp) avec le même support monomial que (f1,...,fp) avec probabilité proche de 1, et que ceux-ci peuvent être calculés efficacement. Ce résultat et sa preuve sont fortement reliés à des propriétés combinatoires de graphes aléatoires dans le modèle d'Erdös-Renyi. Nous illustrerons ce résultat par des observations expérimentales et discuterons de ses liens avec le problème de la résolution de systèmes quadratiques lacunaires. Travail commun avec Jean-Charles Faugère et Jules Svartz
The monodromy groups of hypergeometric differential equations of type nFn-1 are often called hypergeometric groups. These are subgroups of GL_n . Recently, Arithmeticity and Thinness of these groups have caught a lot of attention. In the talk, a gentle introduction and recent progress to the theory of hypergeometric groups will be presented. In the same spirit, theory of Salem groups will also be introduced.
S'il est commun, dans la communauté de réalisabilité, de considérer un type comme l'ensemble de ses preuves, et donc un ensemble de termes, il est aussi commun, dans la communauté des types intersections, de considérer un terme comme l'ensemble de ses comportements possibles, et donc un ensemble de types. Dans cet exposé, je présenterai en détail les types intersections, qui sont moins connus au sein du LAMA. Puis j'essaierai d'expliciter les liens avec la réalisabilité: en quoi il est intéressant de composer les deux, et si l'on peut voir les deux opérations comme duales dans un certain sens. Il ne s'agira pas (ou peu) de travaux personnels, mais d'une présentation générale et transversale du domaine.
The blowing up of a monomial ideal in the affine space is non necessarily normal. It is covered by affine charts determined by certain semigroup algebras. We explain how one can generalize this example to define toric varieties without the normality assumption. Gonzalez-Sprinberg proved that the Semple-Nash modification on a toric variety is described by the blowing up of certain monomial ideal. We study some properties of this modification in terms of monomial valuations. This is a joint work with B. Teissier.
Cet exposé considère l'amélioration de Furstenberg du théorème de récurrence de Poincare. Nous commençons avec ce théorème et faisons une connexion avec la théorie d'équirépartition des suites. Les rotations du cercle donnent des exemples élémentaires des suites équiréparties et des systèmes dynamique. En considèrent leur généralisations le théorème de van der Corput joue un rôle central et nous analysons ce théorème et ses conséquences. Le concept d'un ensemble de van der Corput boucle la boucle avec le théorème de Furstenberg-Sárközy.
C'est de travail conjoint avec Robert Tichy de l'Université Technique de Graz.
Depuis Peter Lax et Olga Oleinik (1957) l’espace BV ( functions with Bounded Variations) est le cadre mathématique le plus utilisé pour les lois de conservation. BV a l’avantage de contrôler la dérivée tout en permettant les ondes de chocs avec des traces de part et d’autre du choc. Les espaces de Sobolev n’ont pas ces avantages bien que Lions, Perthame, Tadmor, Tao aient obtenu des effets régularisant (non optimaux) pour les lois scalaires non linéaires dans ce cadre. On présentera des espaces BV généralisés comme les BV fractionnaires pour obtenir des effets régularisant optimaux, des blow-up ou des résultats d’existence pour des lois scalaires et un système hyperbolique issue de la chimie. Travaux en collaboration avec: Christian Bourdarias, Pierre Castelli, Pierre-Emmanuel Jabin, Marguerite Gisclon, Yue-Jun Peng.
In this talk, we study the influence of a Coriolis forcing on water waves. First, we present a local wellposedness result on the Castro-Lannes equations which generalize the so called Zakharov/Craig-Sulem formulation in the rotational framework. Then, we study different asymptotic models in shallow waters. First, we fully justify on large times the Boussinesq equations, asymptotic model in a weakly nonlinear regime, and then we fully justify the Poincaré waves and the Ostrovsky equation.
Dans le monde des systèmes hamiltoniens d'équations aux dérivées partielles, les notions d'équation intégrable et de solution turbulente occupent des places apparemment irréconciliables. Après avoir tenté de donner une idée accessible de ces deux notions, je discuterai un exemple découvert récemment d'équation obtenue comme forme normale d'un modèle d'onde non linéaire, qui est intégrable au sens de Lax, mais dont les solutions sont génériquement turbulentes.
L'objet de la théorie de Ramsey est l'étude de l'apparition nécessaire de la régularité au sein des structures de grande taille, même lorsque ces dernières sont soumises à des partitions. Par exemple, le théorème de Ramsey affirme que tout graphe infini admet un sous-graphe induit complet (où tous les sommets sont reliés à tous les autres) ou indépendant (où aucun sommet n'est relié à aucun autre). De manière équivalente, pour toute partition finie de l'ensemble des paires de nombres naturels, il existe un ensemble infini de naturels dont les paires sont toutes dans la même partie. Un autre exemple est donné par le théorème de van der Waerden, qui affirme que pour toute partition des entiers naturels en un nombre fini de parties, l'une des parties contient nécessairement des progressions arithmétiques de longueur finie arbitrairement grande (il se peut en revanche qu'aucune des parties ne contienne de progression arithmétique infinie).
Le but de cet exposé sera de présenter dans quelle mesure des résultats de ce type peuvent être obtenus dans des contextes où plus de structure apparaît (espaces vectoriels, espaces métriques, graphes, graphes dirigés, etc), et de montrer comment, à partir des travaux de Kechris, Pestov et Todorcevic de 2005, ces résultats peuvent être utilisés pour démontrer des résultats de dynamique topologique, tels que le théorème suivant, dû à Pestov : Soit G le groupe d'automorphismes des rationnels (vus comme l'unique ordre total dense sans point d'extrémité). Alors, lorsqu'il est équipé de la topologie adéquate, G est extrêmement moyennable, c'est-à-dire que toute action continue de G par homéomorphismes sur un espace compact admet un point fixe.
Nous considérons l'équation de Schrödinger avec une non-linéarité logarithmique, dont le signe est tel qu'il n'existe pas de solution stationnaire (non triviale). Des calculs explicites dans le cas de données gaussiennes font apparaître trois phénomènes nouveaux, dans le régime en temps grand : la dispersion est accrue d'un facteur logarithmique en temps, les normes de Sobolev (d'indice positif) croissent logarithmiquement en temps, et après une remise à l'échelle de la fonction inconnue, le module de la solution converge vers une gaussienne universelle (indépendante de la gaussienne initiale). Ces phénomènes persistent pour des données initiales générales (non nécessairement gaussiennes), quitte à considérer une limite faible pour le troisième point. Parmi les étapes de la preuve, nous présenterons une transformée de Madelung permettant de réduire l'équation à une variante de l'équation d'Euler compressible isotherme, dont le comportement en temps long fait intervenir une équation parabolique liée à un opérateur de Fokker-Planck. Il s'agit d'un travail en commun avec Isabelle Gallagher.
Dans ce travail en collaboration avec Jean-Michel Coron et Frédéric Marbach, nous considérons les équations de Navier-Stokes incompressible dans un domaine borné régulier dans le cas où une condition de glissement avec friction est prescrite sur le bord privé d’une partie non-vide. Cette sous-détermination exprime que l’on contrôle la partie restante du bord. Nous prouvons que pour toute donnée initiale d’énergie cinétique finie, pour tout temps positif, il existe une solution faible à la Leray qui s’annule au temps donné.
Nonlinear waves under ice plates are considered in this presentation. The ice plates floating on water can be modelled under certain conditions by thin elastic plates. Considering the influence of gravity and flexural effects a variety of two-dimensional nonlinear waves are discovered. The steady and unsteady solutions are analysed using weakly-nonlinear models, Hamiltonian formulations and numerical computations. Extensions including stratified fluids, three-dimensional effects will be discussed.