Nous présentons ici deux techniques, parfois concordantes, de stabilisation de schémas numériques semi-implicites pour les problèmes paraboliques non-linéaires. Les schémas proposés sont appliqués d'une part, en différences finies, lorsque les opérateurs sont discrétisés à l'aide de schémas compacts et, d'autre part, en éléments finis enutilisant une approche bi-grilles. Nous illustrons notre propos en considérant des modèles de champ de phase (Cahn-Hilliard et Allen -Cahn) et de mécanique des fluides (Navier-Stokes).
La logique linéaire différentielle (DiLL) a été construite après une étude de modèles vectoriels de la logique linéaire, où les preuves sont interprétées par des séries plus ou moins formelles. Il s'agit donc de modèles discrets, où la différentielle extrait la partie linéaire d'une série entière. On cherche à trouver un modèle continu de la logique linéaire différentielle classique : il nous faut à la fois une catégorie cartésienne close de fonctions lisses et une catégorie monoidale close d'espaces réfléxifs. Nous allons détailler une solution partielle à ce problème, à travers d'espaces nucléaires et d'espaces de distributions. Nous verrons comment ce modèle suggère une syntaxe séparée en classes de formules, chaque classe correspondant aux solutions d'une EDP linéaire. Nous montrerons que chaque classe liée à une EDP dont on peut construire la solution se comporte comme une exponentielle intermédiaire, et vérifie les règles exponentielles de la logique linéaire différentielle. Si le temps le permet, nous aborderons un travail en collaboration avec Y. Dabrowski , où nous trouvons plusieurs modèles lisses de la logique linéaire différentielle, en faisant le choix discriminant d'interpréter la disjonction multiplicative de LL par le produit epsilon de Schwartz.
Afin d'étudier les propriétés arithmétiques d'une fonction entière, Coman et Poletsky ont introduit une notion de mesure de transcendance. Cette mesure joue un rôle similaire aux mesures de transcendances en approximation diophantienne. Par la suite ils ont obtenu une majoration de cette mesure de transcendance sous des conditions de distribution des petites valeurs de la fonction entière étudiée. J'expliquerai comment cette mesure de transcendance peut être étendue aux fonctions méromorphes sur le disque unité ou le plan. De façon analogue à la situation entière, il sera possible de majorer cette mesure sous des conditions de distribution des petites valeurs de la fonction méromorphe et des pôles de celle-ci. J'appliquerai ce résultat au cas des fonctions elliptiques et fuchsiennes. Enfin j'expliquerai le lien entre les lemmes de zéros et les mesures de transcendances de cet exposé.
In the first part of this talk, I'll recall the construction of category of games and innocent deterministic strategies introduced by Harmer, Hyland and Mellies [1]. Compared with the original method by Hyland and Ong [2], this method holds two specific advantages. First, it outlines the structural conditions on certain games and strategies by introducing separate entities (the schedules) that focus most of the required proof work. Second, the methods lays out a pretty clear combinatorial ‘recipe’ that could be replicated in other settings. That will be the goal of the second part of the talk, which will develop a 2-categorical and sheaf-theoretic formulation of non-deterministic innocent strategies, based on this ‘recipe’. During the course of this construction, I'll outline specific properties that give us a better understanding of both deterministic and non-deterministic strategies.
[1] Categorical combinatorics of innocent strategies, Harmer, Hyland, Mellies, LiCS 2007.
[2] On full abstraction for PCF I, II and III, Hyland, Ong, Information and Computation 2000.
The aim of the talk is to provide a concise survey of some results about variational methods for image segmentation and inpainting, in the framework of functions of Special Bounded Variation in the sense of De Giorgi.
The lambda-calculus possesses a strong notion of extensionality, called ``the omega-rule'', which has been the subject of many investigations. It is a longstanding open problem whether the equivalence obtained by closing the theory of Böhm trees under the omega-rule is strictly included in Morris's original observational theory, as conjectured by Sallé in the seventies. We will first show that Morris's theory satisfies the omega-rule. We will then demonstrate that the two aforementioned theories actually coincide, thus disproving Sallé's conjecture.
The proof technique we develop is general enough to provide as a byproduct a new characterization, based on bounded eta-expansions, of the least extensional equality between Böhm trees.
Soit k un corps de caractéristique nulle et K=k((t)). Les ensembles semi-algébriques sur K sont des combinaisons booléennes d’ensembles algébriques et d’ensembles définis par des inégalités valuatives. Leur anneau de Grothendieck a été étudié par Hruskovski et Kazhdan qui le relient via l’intégration motivique au groupe de Grothendieck des variétés sur k. Je présenterai un morphisme de cet anneau vers le groupe de Grothendieck des motifs des variétés rigides analytiques sur K au sens d’Ayoub. Cela permet de raffiner la comparaison par Ayoub, Ivorra et Sebag entre fibre de Milnor motivique et foncteur cycle proche motivique d’Ayoub.
Herbrand's theorem, widely regarded as a cornerstone of proof theory, exposes some of the constructive content of classical logic. In its simplest form, it reduces the validity of a first-order purely existential formula to that of a finite disjunction. More generally, it gives a reduction of first-order validity to propositional validity, by understanding the structure of the assignment of first-order terms to existential quantifiers, and the causal dependency between quantifiers. In this paper, we show that Herbrand's theorem in its general form can be elegantly stated as a theorem in the framework of concurrent games. The causal structure of concurrent strategies, paired with annotations by first-order terms, is used to specify the dependency between quantifiers. Furthermore concurrent strategies can be composed, yielding a compositional proof of Herbrand's theorem, simply by interpreting classical sequent proofs in a well-chosen denotational model.
Local conservation laws of a system of differential equations are given by one or several expressions of the form divergence(flux vector)=0, holding on solutions of that system. For ordinary differential equations (ODE), conservation laws lead to first integrals and the reduction of order; for partial differential equations (PDE), they are used for analysis of solution behaviour, and provide globally conserved quantities, such as energy, momentum, etc., as well as more exotic ones. Conservation laws also play an important role in the numerical treatment of nonlinear PDE models. In this talk, we will review the general theory, including trivial and equivalent conservation laws, the characteristic form of conservation laws, their relationship with symmetries of DEs, variational systems, Lagrangians, and the first and second Noether's theorems. A systematic general procedure to seek conservation laws will be discussed, applicable to virtually any model; it will be compared to the Noether's theorem approach for variational models. A symbolic implementation of the direct method of conservation law computation in Maple will be discussed. Examples of conservation laws and conserved quantities for classical PDEs and some nonlinear models arising in contemporary work will be presented. Time permitting, we will consider a common framework for different types of conservation laws of PDE systems in three space dimensions, including their global and local formulations in static and moving domains given by volumes, surfaces, and curves.
Considérons un lacet tracé dans l'ensemble des points réels d'une variété algébrique réelle. Peut-on l'approcher par le lieu réel d'une courbe algébrique incluse dans la variété ? Il s'agit d'une question classique en géométrie réelle. Dans cet exposé, nous expliquerons ce qui est connu, et présenterons de nouveaux résultats positifs et négatifs, obtenus en collaboration avec Olivier Wittenberg.
Je présenterai quelques résultats que j'ai obtenus récemment en collaboration avec José Antonio Carrillo, François Delarue, François James et Nicolas Vauchelet. Ils concernent des équations d'agrégation, qui sont des équations de transport, conservatives, où le champ de transport est obtenu par convolution de la solution elle-même (l'équation étant donc non linéaire) par le gradient d'un potentiel qui peut n'être pas régulier. Ceci a pour conséquence que le champ de vitesse présente des discontinuités en espace. Nous verrons que les problèmes de Cauchy associés à ce type d'équations sont bien posés, en un sens proposé par Poupaud et Rascle, en se basant sur la théorie des EDO de Filippov. Nous verrons ensuite que ces solutions, non régulières (mesures bornées), s'approchent bien (à l'ordre 1/2 en le pas du maillage) par des schémas diffusifs (du genre décentré amont), en distance de Wasserstein.
Les équations de réaction diffusion non locales sont un moyen de décrire certaines populations ayant une stratégie de dispersion à longue distance. Un des enjeux de ce type de modélisation est de mieux comprendre les phénomènes d'invasion pour les espèces adoptant ce type de stratégie. Pour attaquer ce type de problème, une première approche consiste à étudier et caractériser au mieux les phénomènes de propagation pouvant être décrit par ces modèles. Dans cet exposé, je commencerai par présenter différents résultats sur l'existence de front progressif vs solution accélérée que l'on peux observer dans les équations de réaction diffusion non locales monostables. Je poursuivrai par la description de la dynamique interne de ces de solutions.
J'expliquerai ce qu'est un diviseur libre puis je donnerai une méthode de construction de tels diviseurs. Les arrangements de droites sont des diviseurs particulièrement étudiés du plan projectif. Nous donnerons quelques arguments prouvant la liberté de certains d'entre eux, puis nous établirons un lien avec les projections de variétés de Veronese dont les espaces tangents d'ordre supérieur n'ont pas la dimension attendue.
Game semantics is a class of denotational models for programming languages, in which types are interpreted as games and programs as strategies. In order to interpret pure programs, one has to restrict to innocent strategies. Two key results then entail that they are the morphisms of a category: associativity of composition and stability of innocence. These are non-trivial results, and significant work, notably by Melliès, has been devoted to better understanding them. Recently, games models have been extended to concurrent languages, using presheaves as generalised strategies and recasting innocence as a sheaf condition. We here revisit composition of strategies in concurrent game semantics with abstract categorical tools that make most of the reasoning automatic and extract the few crucial lemmas that give composition of strategies all its desired properties. The approach applies to non-concurrent strategies as well.
Les nombres de Hurwitz comptent le nombre de revêtements ramifiés, de degré d et de genre g, de la droite projective complexe avec des profils de ramification fixés aux points de branchements respectifs. On considère le problème de comptage des revêtements de genre nul, munis d'une structure réelle à partir de la conjugaison complexe, tels que tous les points de branchements soient réels. En imposant à un des points de branchement un profil de ramification particulier, on associe alors un signe à chaque revêtement à partir de la position des points de ramification. De manière analogue aux travaux d'Itenberg et Zvonkine sur les nombres de Hurwitz réels polynomiaux, on démontre que le nombre total de revêtements, comptés avec signe, ne dépend pas de l'ordre des points de branchement dans la droite réelle.