A lattice polytope is the convex hull in R^d of finitely many integer points. A lattice d-simplex is a lattice d-polytope whose vertices are affinely independent, and it is ``empty'' if its vertices are its only lattice points. Lattice polytopes have been widely studied for their relations to algebraic geometry and integer optimization, among other fields. For example, empty lattice simplices correspond to the so called terminal quotient singularities in the minimal model program of Mori for the birational classification of algebraic varieties. Their classification in dimension three (White, 1964) is sometimes dubbed the terminal lemma, and quite some effort has been devoted towards the classification of 4-dimensional ones. In particular, Mori, Morrison and Morrison (1988) conjectured a classification of the empty 4-dimensional simplices of prime volume into (I) a three-parameter family, (II) one two-parameter family, (III) 29 one-parameter families, and (IV) a finite list of exceptions of volumes up to 419. This classification was later proved by Bober (2009). For the non-prime case, Barile et al. (2011) claimed that the classification of Mori et al. extended without change (except for an increase in the number of exceptional simplices) but this statement was found to be false in Blanco et al. (2017+), where additional infinite families were found. In this talk we report on the complete classification of empty 4-simplices which includes, besides the families of Mori et al., a second two-parameter family and 23 additional one-parameter families. Our techniques combine methods from convex geometry (covering minima) with looking at the minimum dimension into which each empty-simplex projects without interior lattice points. This talk is based on joint work with Óscar Iglesias-Valiño (Universidad de Cantabria).
À venir
On tentera d'illustrer et d'expliquer comment le phenomene classique de dispersion d'une onde se trouve modifie de facon significative en presence d'un bord convexe, qui conduit les ondes a se propager a proximite du bord, engendrant un nombre arbitraire de caustiques meme en temps petit, dont on verra qu'on peut les quantifier (ou/quand/quelle intensite). Il s'agit de travaux en collaboration avec Oana Ivanovici, Gilles Lebeau et Richard Lascar.
The ring of multivariate polynomials F[x_1, x_2, ..., x_n] is a unique factorization domain. We consider the following problem: ``Is there an 'efficient' algorithm that outputs a non-trivial factor of the given input polynomial''. This question has applications in algebraic complexity, for example, in proving the connection between polynomial identity testing (PIT) and lower bounds. In this talk, we will consider the closure of various classes of polynomial families under factorization. [Kaltofen86-90] studied this problem for VP. A slew of work in the recent years has brought it back into the limelight: [DSY09] studied circuits of small depth and factors of a special form, [Oliveria16] studied formulas of small depth, [DSS18] studied ABPs and formulas, [CKS18] studied the polynomial class VNP. We will take a look at these algorithms and state some open problems in the area.
Ce travail s’inscrit dans un contexte de contrôle de la pollution d’origine agricole des ressources en eau, en alliant modélisation économique et hydrogéologique. Pour cela, nous définissons d’une part un objectif économique spatio-temporel prenant en compte le compromis entre l’utilisation d’engrais et les coûts de dépollution. D’autre part, nous décrivons le transport du polluant dans le sous-sol (3D en espace) par un système non linéaire d’équations aux dérivées partielles couplées de type parabolique (réaction-convection-dispersion) et elliptique dans un domaine borné. Des résultats génériques sont donnés et le cas particulier des faibles concentrations est traité, cas pour lequel un résultat d’unicité est démontré par analyse asymptotique. Quelques résultats numériques (2D en espace) illustreront ces résultats analytiques. Ces derniers pourront être élargis au cadre de la théorie des jeux, où plusieurs joueurs interviennent, avec notamment un résultat d’existence d’un équilibre de Nash.
La réécriture de dimension supérieure a pour origine des travaux de Squier sur le problème du mot dans les monoïdes. A partir d'une présentation d'un monoïde, Squier a pu calculer en basse dimension des invariants homotopiques de ce monoïde. Depuis, elle a été adaptée à d'autres structures, et en particulier aux PRO, où elle permet de prouver des théorèmes de cohérence comme celui de MacLane pour les catégories monoïdales. Par ailleurs, dans le cas des monoïdes, les constructions de réécriture ont été étendues en dimension supérieure. Au cours de cet exposé, je montrerai comment il est possible d'unifier ces théories de réécriture dans diverses structures. En particulier, ceci permet de réinterpréter les constructions effectuées en réécriture en termes homotopiques. Cette réinterprétation s'appuie en particulier sur la notion de omega-catégorie cubique et sur le produit de Gray.
It is known that every germ of an analytic set is homeomorphic to the germ of an algebraic set. We show that the homeomorphism can be chosen in such a way that the analytic and algebraic germs are tangent with any prescribed order of tangency. Moreover, the space of arcs contained in the algebraic germ approximates the space of arcs contained in the analytic one, in the sense that they are identical up to a prescribed truncation order. Joint work with K. Kurdyka, A. Parusinski and G. Rond.
In this talk we will discuss a link between geometry of continued fractions and global relations for singularities of complex projective toric surfaces. The results are based on recent development of lattice trigonometric functions that are invariant with respect to Aff(2,Z)-group action.
Les nombres de Markov sont des entiers positifs qui apparaissent dans les triplets de solutions de l’équation diophantienne, x^2+y^2+z^2 = 3xyz, appelée l’équation de Markov. Il est possible de trouver tous les solutions à partir d’un triplet par un algorithme simple. Pourtant, il y a un célèbre problème ouvert formulé par Frobenius : est-il vrai qu'étant donné un entier positif z, il existe au plus un couple (x,y) d’entiers positifs avec x < y < z tel que (x,y,z) soit une solution? Ces nombres apparaissent dans le contexte des fractions continues et de l’approximation diophantienne des nombres réels irrationnels par des nombres rationnels. Ils apparaissent aussi dans de très nombreux domaines des mathématiques comme les formes quadratiques binaires, la géométrie hyperbolique et la combinatoire des mots etc... Le but de cette exposé est de présenter une partie de la théorie de Markov qui est construite autour de l’équation de Markov et de donner la conjecture d’unicité sur les nombres de Markov. Au final, on introduira une involution des irrationnels susceptible d’être pertinente pour le sujet.
L'équivalence arc-analytique est une relation d'équivalence sur les germes de fonctions Nash (i.e. analytiques réelles+semialgébriques) qui n'admet pas de module continu et qui peut être vue comme une version semialgébrique de l'équivalence blow-analytique de T.-C. Kuo. Dans cet exposé, je donnerai la classification complète des polynômes de Brieskorn--Pham pour l'équivalence arc-analytique. Cette dernière généralise les classifications obtenues par S. Koike et A. Parusiński dans le cas de deux variables et par G. Fichou dans le cas de trois variables. Ce résultat permet de mettre en exergue quelques différences avec d'autres classifications naturelles comme l'équivalence bi-Lipschitz. La preuve repose sur une version réelle des fonctions zêta motiviques de J. Denef et F. Loeser et sur des calculs explicites de polynômes de Poincaré virtuels (un analogue réel au polynôme de Hodge--Deligne, introduit par C. McCrory et A. Parusiński).
Implicative algebras, developed by Alexandre Miquel, are very simple algebraic structures generalizing at the same time complete Boolean algebras and Krivine realizability algebras, in such a way that they allow to express in a same setting the theory of forcing (in the sense of Cohen) and the theory of classical realizability (in the sense of Krivine). Besides, they have the nice feature of providing a common framework for the interpretation both of types and programs. The main default of these structures is that they are deeply oriented towards the λ-calculus, and that they only allows to faithfully interpret languages in call-by-name. To remediate the situation, we introduce two variants of implicative algebras: disjunctive algebras, centered on the “par” (⅋) connective of linear logic (but in a non-linear framework) and naturally adapted to languages in call-by-name; and conjunctives algebras, centered on the “tensor” (⊗) connective of linear logic and adapted to languages in call-by-value. Amongst other properties, we will see that disjunctive algebras are particular cases of implicative algebras and that conjunctive algebras can be obtained from disjunctive algebras (by reversing the underlying order).
We consider the initial value problem to the Isobe-Kakinuma model for water waves. As was shown by J. C. Luke, the water wave problem has a variational structure. By approximating the velocity potential in Luke's Lagrangian, we obtain an approximate Lagrangian for water waves. The Isobe-Kakinuma model is a corresponding Euler-Lagrange equation for the approximate Lagrangian. In this talk, we first explain a structure of the Isobe-Kakinuma model and then justify the model rigorously as a higher order shallow water approximation by giving an error estimate between the solutions of the model and of the full water wave problem. It is revealed that the Isobe-Kakinuma model is a much more precise model than the well known Green-Naghdi equations.
A Majority Automata consists of applying over the vertices of a undirected graph (with states 0’s and 1’s) an operator that chooses the most represented state among the neighbors of a vertex. This rule is applied in parallel over all the nodes of the graph. When the graph is a regular lattice ( in one or more dimensions) it is called the Majority Cellular Automata. In this seminar we will study the computational complexity of the following prediction problem: PRED: Given an initial configuration and a specific site initially at state a ( 0 or 1), is there a time step T≥1 such that this site changes state? The complexity of PRED is characterized by the possibility to find an algorithm that give the answer faster than the running of the automata simulation in a serial computer. More precisely, if we are able to determine an algorithm running in a parallel computer in polylog time (class NC). Otherwise, the problem may be P-Complete ( one of the most dificult in class P of Polynomial problems) or … worse. We will applied this kind of results to the discrete Schelling’s segregation model. Also we will present the Sakoda’s Social Discret model.
Il est connu depuis longtemps qu'une courbe tropicale dans R^2 de degré d est de genre au plus (d-1)(d-2)/2. J'expliquerai dans cet exposé comment construire une courbe tropicale plane de degré d et de genre quelconque. J'expliquerai en particulier comment résoudre la contradiction apparente de ces deux dernières phrases. Plus généralement, je donnerai des bornes sur les nombres de Betti des variétés tropicales de R^n, et si le temps le permet sur leurs nombres de Hodge tropicaux. Généralisant le cas des courbes, je montrerai qu'il n'existe pas de borne supérieure finie sur le nombre total de Betti d'une variété tropicale projective de degré d et de dimension m. Ceci est un travail en commun avec B. Bertrand et L Lopez de Medrano
Bounds are obtained for Lp norm of the torsion function vΩ , i.e. the solution of −∆v = 1, v=0 on the boundary of Ω and v ∈ H1(Ω) in terms of the Lebesgue measure of an open set Ω ⊂ Rm and the principal Dirichlet eigenvalue λ1(Ω) of the Dirichlet Laplacian acting in L²(Ω). Joint work with Thomas Kappeler, University of Zürich.
TBA
Groupe de travail : << Fonctions Zêta, Théorie des Nombres, Géométrie >> Dyer’s outer automorphism of PGL(2,Z) induces an involution of the real line, which behaves very much like a kind of modular function. It has some striking properties: it preserves the set of quadratic irrationals sending them to each other in a non-trivial way and commutes with the Galois action on this set. It restricts to an highly non- trivial involution of the set unit of norm +1 of quadratic number fields. It conjugates the Gauss continued fraction map to the so-called Fibonacci map. It preserves harmonic pairs of numbers inducing a duality of Beatty partitions of the set of natural numbers. It induces a subtle symmetry of Lebesgue’s measure on the unit interval. On the other hand, it has jump discontinuities at rationals though its derivative exists almost everywhere and vanishes almost everywhere. In the talk, I plan to show how this involution acts on the quadratic irrationals.