Soit Omega inclus dans R^n, un ensemble de mesure finie tel que pour un rayon r (inférieur au diamètre), le volume de l'intersection de Omega avec toute boule de rayon r centrée en un point du bord est constant. Nous démontrons que Omega doit être une boule s'il est ouvert et connexe, ou s'il est mesurable de périmètre fini et indécomposable. Dans le cas le plus général, sous une hypothèse qui remplace la connexité/indécomposabilité, un ensemble mesurable satisfaisant cette propriété doit etre une réunion de boules identiques. La preuve est basée sur une réinterprétation de la méthode des hyperplans mobiles d'Alexandrov-Serrin dans le contexte d'ensembles mesurables. En effet, ce résultat peut-etre vu comme un théorème de rigidité à la Alexandrov pour des ensembles mesurables à courbure moyenne non locale constante. Travail en collaboration avec I. Fragalà (Milan).
First, we consider a system of two wave equations coupled by velocities in one-dimensional space with one boundary fractional damping and we prove that the energy of our system decays polynomially with different rates. Second, we investigate the stabilization of a locally coupled wave equations with only one internal viscoelastic damping of Kelvin-Voigt type and we prove that the energy of our system decays polynomially with rate 1/t. Finally, we investigate the stabilization of a locally coupled wave equations with local viscoelastic damping of past history type acting only in one equation via non smooth coefficients and we establish the exponential stability of the solution if and only if the two waves have the same speed of propagation. In case of different speed propagation, we prove that the energy of our system decays polynomially with rate 1/t.
Le groupe de Grothendieck des variétés est le quotient du groupe abélien libre sur les classes d'isomorphismes de variétés algébriques par des relations qui permettent de découper une variété en une sous-variété et son complémentaire. Il a également une structure d'anneau provenant du produit de variétés. De nombreux résultats de théorie des nombres ont des analogues, dits motiviques, qui peuvent être formulés dans cet anneau et qui sont de nature plus géométrique. Nous allons présenter un résultat obtenu en collaboration avec Sean Howe, qui est un analogue motivique d'un célèbre théorème de Poonen; il s'agit de comprendre la probabilité qu'un polynôme homogène à n variables satisfasse certaines conditions sur son développement de Taylor en tout point, lorsque le degré tend vers l'infini. Un outil essentiel est l'introduction d'une notion de produit eulérien motivique pour écrire la valeur de la probabilité limite.
The lake equations arise as a geophysical model for the description of shallow water. The system is introduced as a 2D model for the vertically averaged horizontal component of a 3D incompressible fluid. A lake is characterised by a 2D domain and a non-negative topography function. The 2D velocity satisfies an anelastic constraint rather than a divergence-free condition. The equations are degenerate if the topography may vanish. More precisely, velocity and vorticity are then related through degenerate elliptic problems. In this talk, we discuss the stability of the lake equations for singular geometries and degenerated topographies. Specifically, we prove stability results for two scenarios: First, motivated by natural phenomena such as flooding or erosion we consider a sequence of lakes with an island that disappears. In addition, we highlight crucial differences to the incompressible 2D Euler equations (flat topography). Second, we address the stability of the equations for a sequence of lakes for which an island appears in the limit, e.g. due to a decreasing level of water. This is joint work with C. Lacave and E. Miot.
It is well known that two generic quadric surfaces intersect in a nonsingular quartic space curve, but when the intersection is not transverse this intersection curve may degenerate to a finite number of different possible types of singular curves. In the nice paper by Farouki et al. (1989), the authors formulate a way of computing the condition for a degenerate intersection in this case, which refines in the real case and with an algorithmic point of view a classical treatise by Bromwich (1906). Independently, Schläfli (1953) studied the degenerate intersection of two hypersurfaces described by multilinear equations. In joint work with S. di Rocco and R. Morrison, we present a general framework of iterated sparse discriminants to characterize the singular intersection of hypersurfaces with a given monomial support A, which generalizes both previous situations. We study the connection of iterated discriminants with the notion of mixed discriminant and the singularities of the sparse discriminant associated to A.
Les fonctions E sont des séries entières à coefficients algébriques qui satisfont à une équation différentielle et à certaines conditions de croissance ; elles ont été introduites par Siegel dans un article révolutionnaire de 1929 avec le but de généraliser les théorèmes de transcendance pour les valeurs de la fonction exponentielle. Outre l’exponentielle, des exemples incluent les fonctions de Bessel et une riche famille de séries hypergéométriques. Siegel a posé la question : est-ce que toute fonction E peut s’écrire comme une expression polynomiale en des fonctions hypergéométriques ? Dans un travail récent, Fischler et Rivoal montrent qu’une réponse positive à cette question contredirait une forme de la conjecture de périodes de Grothendieck. Dans l'exposé je décrirai une approche inconditionnelle basée sur la théorie de Galois différentielle. Il s’agit d’un travail en commun avec Peter Jossen.
In the last years, measure solutions to PDE, in particular those modeling populations, have drawn much attention. The talk will be devoted to the presentation of a recent, unusual result in this field, that we obtained with Pierre Gabriel. First, I will expose some wellposedness and asymptotic results for two famous population equations in the L^p and measure frameworks, and explain the critical case that interested us. Then, I will define the notion of solution we used, and if needed, recall some basic definitions about semigroups. Moving to the proof itself, I will present the main steps of the proof of the wellposedness of the problem, that relies on a duality relation used to build a solution expressed as a semigroup acting on an initial measure. Then, I will go a little more into details of the demonstration of the asymptotic behaviour. In particular, I will exhibit how we used Harris' ergodic theorem to obtain a uniform exponential convergence in (weighted) total variation norm toward an oscillating measure.
The equations of motion for compressible (barotropic) fluids have the structure of a simple conservative dynamical system when expressed in Lagrangian variables. This can be exposed interpreting the Lagrangian flow as a curve of vector-valued L2 functions, and the internal energy of the fluid as a functional on the same space. Particle methods are a natural discretization strategy in this setting, since in this case the flow is discretized using piecewise constant functions on a given partition of the domain, but they require some form of regularization to define the internal energy of the fluid. In this talk I will describe a particle method in which the internal energy is replaced by its Moreau-Yosida regularization in the L2 space, which can be efficiently computed as a semi-discrete optimal transport problem. I will also show how the convexity of the energy in the Eulerian variables can be exploited in the non-convex Lagrangian setting to prove quantitative convergence estimates towards smooth solution of this problem, and how this result generalizes to dissipative porous media flow.
Le but de l'optique anidolique, aussi appelée optique non imageante, est de construire des composants optiques qui transportent l'énergie lumineuse d'une source de lumière vers une cible de lumière donnée. La modélisation de ce type de problèmes inverses conduit dans certains cas à des équations de type Monge-Ampère. Dans cet exposé, je montrerai comment de telles équations peuvent être résolues numériquement à l'aide d'une discrétisation géométrique particulière appelée semi-discrète. Je présenterai aussi des applications en optique anidolique avec la construction de miroirs et de lentilles.
Dans cet exposé nous allons nous intéresser aux structures réelles de certaines variétés algébriques complexes munies d'une action d'un groupe algébrique réductif : les variétés presque homogènes. Nous verrons comment déterminer si de telles structures existent et, le cas échéant, comment les décrire et les dénombrer. En particulier, nous tâcherons d'illustrer notre approche sur deux familles classiques de variétés presque homogènes : les variétés horosphériques (qui incluent les variétés toriques et les variétés de drapeaux) et les SL(2)-variétés presque homogènes de dimension 3. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Lucy Moser-Jauslin (IMB, Dijon).
Nous nous intéressons aux deux problèmes suivants : (1) Le problème de prolongement de Whitney consistant à déterminer si une fonction g:X->R définie sur un fermé Xsubset R^n admet un prolongement de classe C^m sur R^n (2) Le problème de Brenner-Fefferman-Hochster-Kollár portant sur l'existence d'une solution G pour un système A(x)G(x)=F(x) où A est une matrice de fonctions définies sur R^n Dans un travail en collaboration avec E. Bierstone et P.D. Milman nous démontrons que si les données de ces problèmes sont semi-algébriques alors il en est de même pour leurs solutions. Néanmoins nos résultats impliquent une perte de régularité. Formellement, pour (1), nous montrons que pour X semi-algébrique, il existe r:N->N telle que si g:X->R semi-algébrique admet un prolongement de classe C^(r(m)) alors g admet un prolongement semi-algébrique de classe C^m. Concernant (2), nous montrons qu'étant donnée A semi-algébrique, il existe r:N->N telle que si F est semi-algébrique et si A(x)G(x)=F(x) admet une solution G de classe C^(r(m)), alors il existe une solution semi-algébrique de classe C^m.
Une application polynomiale dominante du plan complexe dans lui-même donne lieu à un ensemble fini de courbes et de points isolés en dehors de son image. Z. Jelonek a fourni une borne supérieure sur le nombre de ces points isolés qui ne dépend que des degrés des polynômes de l'application, et qui est quadratique en ces degrés. J'introduirai dans cet exposé une grande famille d'applications dominantes non propres pour lesquelles cette borne supérieure dépend linéairement de degrés. J'illustrerai également une construction montrant que cette borne supérieure est asymptotiquement exacte.
Les champignons endomycorhiziens forment des communautés mutualistes qui aident les plantes à accroître leur système racinaire et donc leur biomasse. Depuis plusieurs décennies, ces champignons sont utilisés comme engrais vert. Cependant quel est l'impact de ces champignons commerciaux sur les communautés sauvages? Afin de comprendre ces interactions j'ai développé en collaboration avec M. Martignoni, R. Tyson et M. Hart (Univ British Columbia) un nouveau modèle mutualiste basé sur des équations aux dérivées partielles. Dans cette exposé, je vous présenterai des critères analytiques d'existence et de stabilité des solutions stationnaires pour lesquels la coexistence apparaît. Ensuite je m'intéresserai à l'invasion spatiale d'une communauté par une autre en montrant l'existence de solutions de type front progressif pour le système et en caractérisant leur vitesse de propagation.
On étudie la version réelle suivante d'un théorème célèbre d'Abhyankar-Moh : quelles applications rationnelles de la droite affine dans le plan affine, dont le lieu réel est un plongement fermé non singulier de R dans R^2, sont équivalentes, à difféomorphisme birationnel du plan près, au plongement trivial ? Dans ce cadre, on montre qu’il existe des plongements non équivalents. Certains d’entre eux sont détectés pas la non-négativité de la dimension de Kodaira réelle du complémentaire de leur image. Ce nouvel invariant est dérivé des propriétés topologiques de « faux plans réels » particuliers associés à ces plongements. (Travail en commun avec Adrien Dubouloz.)
Many of the most important results in mathematics are based on some inequality, of geometric or analytic nature. On the other hand, this separation between geometry and analysis is not sharp and the most intriguing inequalities are indeed the ones that have a mixed nature and enhance the interplay of the two realms. Moreover, many apparently purely geometric inequalities have some powerful functional counterpart, like for instance the Isoperimetric Inequality and Sobolev Inequality. I will try to give some general overview on geometric-analytic inequalities and will concentrate on one of them, precisely the Brunn-Minkowski inequality, an apparently geometric inequality which is at the core of modern convex geometry, and on its functional counterpart, the Borell-Brascamp-Lieb inequality. And also possibly show some applications to PDEs.