Finding lower bounds in complexity theory has proven to be an extremely difficult task. We analyze three proofs of lower bounds that use heavy techniques from algebraic geometry through the lense of dynamical systems. Interpreting programs as graphings – generalizations of dynamical systems that model Girard's Geometry of Interaction, we show that the three proofs share the same structure and use algebraic geometry to give a bound on the topological entropy of the system representing the program. This work, joint with Thomas Seiller, aims at proposing Geometry of Interaction derived methods to study dynamical properties of models of computation beyond Curry-Howard.
Generalized amoebas are images of algebraic varieties under multiplicative group homomorphisms. They connect toric geometry with real and tropical geometry. We will discuss the general framework, as well as applications to fewnomial systems.
In this talk, I present a framework for recursive proofs of coinductive predicates, which are defined via functor liftings to fibrations. This framework is based on the so-called later modality and Löb-induction. Intuitively, the role of the later modality is thereby to control the use of coinduction hypotheses. Since the framework works on certain fibrations, it can be instantiated in very diverse situation like, for instance, set-based predicates and relations, quantitative predicates and relations, syntactic first-order logic, or dependent type theory. Apart from showing the underlying technical constructions of the framework, I will demonstrate how it can be used in those examples. Moreover, I will briefly talk about some recent progress, in collaboration with Katya Komendantskaya and Yue Li, in the direction of automatic proof search for this framework.
Seade, Tibar et Verjovsky (Math. Annalen, 2005) ont défini l'obstruction d'Euler globale d'un ensemble algébrique affine complexe et ils ont donné une formule de multiplicité polaire pour cette obstruction. Dans cet exposé, on définit plusieurs généralisations de l'obstruction d'Euler globale et on donne plusieurs généralisations de la formule de multiplicité polaire. C'est un travail avec Nivaldo Grulha.
Je commencerai par une introduction basique aux différents outils utilisés dans mon domaine de recherche, à savoir la théorie des catégories, l'algèbre homotopique à la Quillen et l'interprétation de la logique à la Lawvere. Aucune connaissance n'est prérequise et je m'appuierai sur des analogies algébriques accessibles à tous mathématiciens (monoides, groupes, etc.) et sur des exemples pertinents en regard des thématiques du LIMD. Une fois ces notions introduites, je présenterai le résultat central de travaux récents effectués avec Paul-André Melliès : étant donnée une bifibration E-->B où la base et les fibres sont équipées de structures de catégories de modèles, quelles sont les conditions pour recoller ces dernières en une structure de catégorie de modèles sur la catégorie totale E ? J'essaierai enfin d'expliquer les motivations de ces travaux qui trouvent leur origine à la fois dans la théorie de l'homotopie catégorique et dans la sémantique de la théorie des types dépendents.
Structural operational semantics is a family of syntactic formats for specifying the operational semantics of programming languages, in the form of a labelled transition system. Fiore and his collaborators have proposed an abstract framework for structural operational semantics based on bialgebras, in which they managed to prove that bisimilarity is a congruence. However, their framework does not scale well to languages with variable binding. We give an abstract account of structural operational semantics based on Weber's parametric right adjoint monads, which encompasses variable binding. On the example of pi-calculus, the key idea is that, while Fiore models the syntax through a monad on a certain presheaf category, we use a subtly different presheaf category inspired by our previous work on sheaf models for concurrent languages. The crucial consequence is that the relevant monad is a parametric right adjoint. This yields a very simple proof of congruence of bisimilarity.
A lattice polytope is the convex hull in R^d of finitely many integer points. A lattice d-simplex is a lattice d-polytope whose vertices are affinely independent, and it is ``empty'' if its vertices are its only lattice points. Lattice polytopes have been widely studied for their relations to algebraic geometry and integer optimization, among other fields. For example, empty lattice simplices correspond to the so called terminal quotient singularities in the minimal model program of Mori for the birational classification of algebraic varieties. Their classification in dimension three (White, 1964) is sometimes dubbed the terminal lemma, and quite some effort has been devoted towards the classification of 4-dimensional ones. In particular, Mori, Morrison and Morrison (1988) conjectured a classification of the empty 4-dimensional simplices of prime volume into (I) a three-parameter family, (II) one two-parameter family, (III) 29 one-parameter families, and (IV) a finite list of exceptions of volumes up to 419. This classification was later proved by Bober (2009). For the non-prime case, Barile et al. (2011) claimed that the classification of Mori et al. extended without change (except for an increase in the number of exceptional simplices) but this statement was found to be false in Blanco et al. (2017+), where additional infinite families were found. In this talk we report on the complete classification of empty 4-simplices which includes, besides the families of Mori et al., a second two-parameter family and 23 additional one-parameter families. Our techniques combine methods from convex geometry (covering minima) with looking at the minimum dimension into which each empty-simplex projects without interior lattice points. This talk is based on joint work with Óscar Iglesias-Valiño (Universidad de Cantabria).
À venir
On tentera d'illustrer et d'expliquer comment le phenomene classique de dispersion d'une onde se trouve modifie de facon significative en presence d'un bord convexe, qui conduit les ondes a se propager a proximite du bord, engendrant un nombre arbitraire de caustiques meme en temps petit, dont on verra qu'on peut les quantifier (ou/quand/quelle intensite). Il s'agit de travaux en collaboration avec Oana Ivanovici, Gilles Lebeau et Richard Lascar.
The ring of multivariate polynomials F[x_1, x_2, ..., x_n] is a unique factorization domain. We consider the following problem: ``Is there an 'efficient' algorithm that outputs a non-trivial factor of the given input polynomial''. This question has applications in algebraic complexity, for example, in proving the connection between polynomial identity testing (PIT) and lower bounds. In this talk, we will consider the closure of various classes of polynomial families under factorization. [Kaltofen86-90] studied this problem for VP. A slew of work in the recent years has brought it back into the limelight: [DSY09] studied circuits of small depth and factors of a special form, [Oliveria16] studied formulas of small depth, [DSS18] studied ABPs and formulas, [CKS18] studied the polynomial class VNP. We will take a look at these algorithms and state some open problems in the area.
Ce travail s’inscrit dans un contexte de contrôle de la pollution d’origine agricole des ressources en eau, en alliant modélisation économique et hydrogéologique. Pour cela, nous définissons d’une part un objectif économique spatio-temporel prenant en compte le compromis entre l’utilisation d’engrais et les coûts de dépollution. D’autre part, nous décrivons le transport du polluant dans le sous-sol (3D en espace) par un système non linéaire d’équations aux dérivées partielles couplées de type parabolique (réaction-convection-dispersion) et elliptique dans un domaine borné. Des résultats génériques sont donnés et le cas particulier des faibles concentrations est traité, cas pour lequel un résultat d’unicité est démontré par analyse asymptotique. Quelques résultats numériques (2D en espace) illustreront ces résultats analytiques. Ces derniers pourront être élargis au cadre de la théorie des jeux, où plusieurs joueurs interviennent, avec notamment un résultat d’existence d’un équilibre de Nash.
La réécriture de dimension supérieure a pour origine des travaux de Squier sur le problème du mot dans les monoïdes. A partir d'une présentation d'un monoïde, Squier a pu calculer en basse dimension des invariants homotopiques de ce monoïde. Depuis, elle a été adaptée à d'autres structures, et en particulier aux PRO, où elle permet de prouver des théorèmes de cohérence comme celui de MacLane pour les catégories monoïdales. Par ailleurs, dans le cas des monoïdes, les constructions de réécriture ont été étendues en dimension supérieure. Au cours de cet exposé, je montrerai comment il est possible d'unifier ces théories de réécriture dans diverses structures. En particulier, ceci permet de réinterpréter les constructions effectuées en réécriture en termes homotopiques. Cette réinterprétation s'appuie en particulier sur la notion de omega-catégorie cubique et sur le produit de Gray.
It is known that every germ of an analytic set is homeomorphic to the germ of an algebraic set. We show that the homeomorphism can be chosen in such a way that the analytic and algebraic germs are tangent with any prescribed order of tangency. Moreover, the space of arcs contained in the algebraic germ approximates the space of arcs contained in the analytic one, in the sense that they are identical up to a prescribed truncation order. Joint work with K. Kurdyka, A. Parusinski and G. Rond.
In this talk we will discuss a link between geometry of continued fractions and global relations for singularities of complex projective toric surfaces. The results are based on recent development of lattice trigonometric functions that are invariant with respect to Aff(2,Z)-group action.
Les nombres de Markov sont des entiers positifs qui apparaissent dans les triplets de solutions de l’équation diophantienne, x^2+y^2+z^2 = 3xyz, appelée l’équation de Markov. Il est possible de trouver tous les solutions à partir d’un triplet par un algorithme simple. Pourtant, il y a un célèbre problème ouvert formulé par Frobenius : est-il vrai qu'étant donné un entier positif z, il existe au plus un couple (x,y) d’entiers positifs avec x < y < z tel que (x,y,z) soit une solution? Ces nombres apparaissent dans le contexte des fractions continues et de l’approximation diophantienne des nombres réels irrationnels par des nombres rationnels. Ils apparaissent aussi dans de très nombreux domaines des mathématiques comme les formes quadratiques binaires, la géométrie hyperbolique et la combinatoire des mots etc... Le but de cette exposé est de présenter une partie de la théorie de Markov qui est construite autour de l’équation de Markov et de donner la conjecture d’unicité sur les nombres de Markov. Au final, on introduira une involution des irrationnels susceptible d’être pertinente pour le sujet.
L'équivalence arc-analytique est une relation d'équivalence sur les germes de fonctions Nash (i.e. analytiques réelles+semialgébriques) qui n'admet pas de module continu et qui peut être vue comme une version semialgébrique de l'équivalence blow-analytique de T.-C. Kuo. Dans cet exposé, je donnerai la classification complète des polynômes de Brieskorn--Pham pour l'équivalence arc-analytique. Cette dernière généralise les classifications obtenues par S. Koike et A. Parusiński dans le cas de deux variables et par G. Fichou dans le cas de trois variables. Ce résultat permet de mettre en exergue quelques différences avec d'autres classifications naturelles comme l'équivalence bi-Lipschitz. La preuve repose sur une version réelle des fonctions zêta motiviques de J. Denef et F. Loeser et sur des calculs explicites de polynômes de Poincaré virtuels (un analogue réel au polynôme de Hodge--Deligne, introduit par C. McCrory et A. Parusiński).