I will present a generalization of Gabrielov's rank theorem for families of rings of power series which we call W-temperate. Examples include the family of complex analytic functions and of the Eisenstein series. I will provide the definition of Eisenstein series, and will discuss how the result allows us to give new proofs of the following two results of W. Pawlucki: I) The non regular locus of a complex or real analytic map is an analytic set. II) The set of semianalytic or Nash points of a subanalytic set X is a subanalytic set, whose complement has codimension two in X. This is a work in collaboration with Octave Curmi and Guillaume Rond.
Dans cet exposé, nous aborderons la problématique de l’observabilité de systèmes d'EDPs linéaires, notamment des systèmes hyperboliques du premier ordre. Nous examinerons en particulier le coût de la détection de paquets d’ondes hautes fréquences. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Roberta Bianchini et Vincent Laheurte.
On considère un écoulement de fluide incompressible visqueux dans une boite B (dans R^n) autour d'un obstacle K (dans B), avec au bord de K une condition de Navier, et on s’intéresse à la minimisation de la traînée parmi tous les obstacles K de mesure fixée. Je présenterai des résultats théoriques d'existence en toute dimension et de régularité en dimension 2 de tels minimiseurs.
I will talk about a joint paper with Jacek Bochnak containing an appendix written by János Kollár. Let X be a real algebraic variety and let Y be a homogeneous space for some linear real algebraic group. We prove that a continuous map f: X -> Y can be approximated by regular maps in the compact-open topology if and only if it is homotopic to a regular map. Taking Y=S^p , the unit p-dimensional sphere, we obtain solutions of several problems that have been open since the 1980's and which concern approximation of maps with values in the unit spheres. This has several consequences for approximation of maps between unit spheres. For example, we prove that for every positive integer n every continuous map from S^n into S^n can be approximated by regular maps. Up to now such a result has only been known for five special values of n, namely, n=1, 2, 3, 4 or 7.
We consider the minimization/maximization problem of the product Tp(Ω)λp(Ω), where Ω varies among different classes of admissible sets. Here Tp and λp denote respectively the p-torsional rigidity and the p-principal frequency associated to the p-Laplace operator. We present some new results in the case p≠2 and we list some interesting open problems.
Les problèmes de criticité de réacteurs nucléaires sont un excellent exemple de couplage de modèles physiques. L’équation de diffusion des neutrons dépend de l’enthalpie du fluide par l’intermédiaire de ses coefficients, et le système des équations de l’hydrodynamique permet de calculer l’enthalpie du fluide en fonction du terme source généré par la répartition des neutrons. Traditionnellement, la résolution de ces problèmes se fait en couplant deux codes numériques sur chacun des deux modèles, avec l’apparition de problèmes d’instabilités numériques. Nous proposons d’étudier, dans un cadre simplifié (approximation Bas Mach et système en dimension 1 d’espace) le système couplé. Nous montrons que ce système (dont l'inconnue est le triplet ($phi$: densité de probabilité de neutrons, $h$ enthalpie, $k$ facteur multiplicatif)) admet, sous des hypothèses raisonnables, une unique solution. Nous avons d'une part utilisé ce résultat pour effectuer le traitement des incertitudes sur les coefficients dans l'équation de neutronique. Plus surprenant, le type de représentation utilisée à partir de ces coefficients fait varier de manière très importante le facteur multiplicatif, et le couplage des codes est beaucoup plus difficile que l'étude directe du modèle couplé.
En géométrie diophantienne, le principe de Batyrev-Manin-Peyre décrit conjecturalement le comportement du nombre de points rationnels de hauteur bornée d’une variété de Fano définie sur un corps de nombres, lorsque ladite borne tends vers l’infini. Étant donnée une variété de Fano sur C, un analogue géométrique de ce principe consiste à considérer l’espace de modules des courbes rationnelles de « grand degré » dans cette variété. Un cadre naturel pour une telle étude est celui de l’intégration motivique ; il s’agit alors de questionner la convergence, après une normalisation adéquate dans l’anneau d’intégration motivique, de la classe de l’espace de module des courbes de degré arbitrairement grand. Il est de plus attendu que son hypothétique limite puisse être décrite par un produit eulérien motivique, jouant ainsi le rôle du nombre de Tamagawa défini par Peyre dans le cadre arithmétique. Dans cet exposé, on présentera les grandes lignes qui mènent à l’énoncé d’un tel principe et à la description de la limite attendue, en illustrant par des exemples pour lesquels le résultat est connu. Puis on montrera qu’affiner ce principe, en introduisant une notion d’équidistribution de courbes, ouvre la voie à de nouveaux résultats.
On considère une approximation de type film mince du problème de Muskat qui décrit l'évolution spatio-temporelle des hauteurs de deux fluides superposés ayant des densités et des viscosités différentes et subissant l'influence de la gravité. La dynamique est décrite par un système de deux équations aux dérivées partielles paraboliques dégénérées d'ordre deux dont la matrice de diffusion n'a pas d'élément identiquement nul (diffusion croisée). D'une part, on obtient l'existence de solutions faibles bornées pour le problème de Neumann dans un ouvert borné. D'autre part, pour le problème de Cauchy, on classifie les solutions autosimilaires et on étudie leur stabilité. Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec Ahmed Ait Hammou Oulhaj, Clément Cancès (Lille), Claire Chainais-Hillairet (Lille), Joachim Escher (Hannover) et Bogdan-Vasile Matioc (Regensburg).
On donnera une définition de structure réelle sur une variété tropicale projective, définition qui s'inspire de la méthode du patchwork de Viro. Dans le cas local on montrera qu'une structure réelle sur un éventail matroidal est équivalent à une orientation sur la matroide sous jacente. On generalisera ensuite le théorème du patchwork à ce cadre. C'est un travail en commun avec Kris Shaw et Johannes Rau.
We prove dispersive estimates for two models : the adjacency matrix on a discrete regular tree, and the Schrödinger equation on a metric regular tree with the same potential on each edge/vertex. The latter model can be thought of as an extension of the case of periodic Schrödinger operators on the real line. We establish a t^(-3/2)-decay for both models which is sharp, as we give the first-order asymptotics.
Dans cet exposé, il s’agira de dresser un panorama général (non exhaustif) de différents axes de recherche actuels dédiés à la modélisation et la simulation numérique en océanographie. J’évoquerai notamment les difficultés et les enjeux liés à la modélisation grande échelle et littorale ainsi qu’un bref aperçu des approches numériques récemment développées pour ces problèmes. Plus particulièrement, nous verrons quels sont les principaux obstacles induits par les modèles dispersifs classiques (Boussinesq, Green-Naghdi...), et étudierons dans quelle mesure une nouvelle classe de modèles permet de contourner une partie de ces difficultés. Il s’agit de modèles hyperboliques permettant, dans la limite de certains paramètres de relaxation, de retrouver les modèles dispersifs usuels. Leur structure est de fait particulièrement adaptée à la mise en oeuvre numérique, que ce soit en termes de difficultés d’implémentation, mais aussi en vue de la gestion des conditions aux limites ou encore la décroissance de l’énergie mécanique discrète, qui sont des critères essentiels dans la plupart des contextes opérationnels. Nous nous baserons sur un modèle récemment proposé par Gaël Richard (Université Grenoble Alpes, INRAE) pour discuter d’une approche numérique en cours d’élaboration, en collaboration avec le SHOM (Service Hydrographique et Océanographique de la Marine).
W. Pawlucki a montré en 1990 que l'ensemble des points en lesquels un ensemble sous-analytique est semi-analytique est lui-même sous-analytique. Le but de cet exposé est d'expliquer cette phrase et de présenter une nouvelle stratégie de preuve de ce résultat. C'est un travail en commun avec André Belotto et Octave Curmi.
On propose une construction géométrique permettant de comprendre ensemble les fibres de Milnor topologique et motivique associées à une application régulière complexe. Cette construction passe soit par la géométrie logarithmique, soit par une version adaptée de la déformation (réelle orientée) sur le cône normal. Travail en collaboration avec J.B. Campesato et A. Parusinski.
In this seminar I will discuss the so called ``zonoid algebra'', a construction introduced in a recent work (joint with Breiding, Bürgisser and Mathis) which allows to put a ring structure on the set of zonoids (i.e. Hausdorff limits of Minkowski sums of segments). This framework gives a new perspective on classical objects in convex geometry, and it allows to introduce new functionals on zonoids, in particular generalizing the notion of mixed volume. Moreover this algebra plays the role of a probabilistic intersection ring for compact homogeneous spaces.
Constructive modal logics are obtained by adding to intuitionistic logic a minimal set of axioms for the box and diamond modalities. During this talk I will present two new semantics for proofs in these logics. The first semantics captures syntactically the proof equivalence enforced by non-duplicating rules permutations, and it is defined by means of the graphical syntax of combinatorial proofs. The second semantics captures a coarse notion of proof equivalence, and it is given by means of winning innocent strategies of a two-player game over graphs encoding formulas. This latter semantics is provided with a notion of compositionality and indeed defines the first concrete model of a denotational semantics for these logics.
In this talk, I discuss how non-Newtonian fluids with almost arbitrary rheology can be modeled within a unified first order-hyperbolic formulation of continuum fluid and solid mechanics.