Soit (K, ν) un corps valué, les notions de valuation augmentée, de valuation augmentée limite et de famille admise de valuations permettent de donner une description de toute valuation μ de K[x] prolongeant ν. Dans le cas où le corps K est algébriquement clos cette description est particulièrement simple et nous pouvons la réduire aux notions de paire minimale et de famille pseudo-convergente. Soient (K, ν) un corps valué hensélien et ν' l’unique extension de ν à la clôture algébrique ̄K de K et soit μ une valuation de K[x] prolongeant ν, nous étudions les extensions ̄μ de μ à ̄K[x] et nous donnons une description des valuations ̄μ_i de ̄K[x] qui sont les extensions des valuations μ_i appartenant à la famille admise associée à μ.
Un problème classique dû à Abel est de déterminer si une équation différentielle y′ = ηy admet une solution non triviale y algébrique sur C(x) lorsque η est une fonction algébrique donnée sur C(x). Risch a produit un algorithme qui, étant donné η, détermine s'il existe une solution algébrique ou non. Dans un travail en commun avec Eric Delaygue (Lyon), nous avons donné un point de vue différent lorsque η admet un développement de Puiseux à coefficients rationnels en 0 : il existe une solution algébrique non triviale de y′=ηy si et seulement si les coefficients du développement de Puiseux de η en 0 satisfont les congruences de Gauss pour presque tous les nombres premiers. Nous avons appliqué notre critère afin de déterminer complètement les équations y′=ηy avec une solution algébrique lorsque xη(x) est une série hypergéométrique algébrique à paramètres rationnels, ce qui nous a permis de prouver une prédiction de Golyshev.
This talk has three parts. First, I want to explain how monoid acts can be viewed as models of computation. Second, I will sketch my thesis work on categories of actions of topological monoids. Third, if there is time, I would like to explain how this work would need to be extended in order to capture the monoid acts from the first part, point out some obstacles that need to be overcome, and give some intuition on what building such a topos-theoretic context could provide. Note that while I will give complexity-theoretic motivation, I want to apply this theory to monoid and group acts of all kinds, so feel free to ask questions about your favourite ones.
The notion of hypergraph has been introduced as a generalization of graphs so that each hyperedge is a subset of the set of vertices, without constraints on its cardinality. A widely investigated problem related both to graphs and to hypergraphs concerns the characterization and reconstruction from their degree sequences. Concerning graphs, this problem has been efficiently solved in 1960 by Erdos and Gallai, while no efficient solutions are possible in the case of hypergraphs, even in the simple case of 3-uniform ones, as shown in 2018 by Deza et al. So, to reduce the NP-hard core of the hypergraph reconstruction problem, we consider a class of degree sequences defined by Deza et al. that show interesting geometrical and algebraic properties. We propose some ideas on how use those properties to challenge the related reconstruction problem.
Nous rappellerons quelques tenants et aboutissants de l'étude des familles d'arcs sur une variété algébrique singulière, initiée par John Nash. Puis nous expliquerons des progrès récents, obtenus en collaboration avec Kevin Langlois et Hussein Mourtada, dans le cas où la variété est équipée d'une action de tore dont les orbites génériques sont de codimension 1.
Dans cet exposé j'introduirai les surfaces K3 et leurs groupes d'automorphismes, en particulier je montrerai comme la théorie des réseaux joue un rôle clé dans cette étude. Je montrerai des progrès récents sur les automorphismes qui agissent non-symplectiquement et qui sont d'ordre un multiple de sept. Il s'agit ici d'un des cas qui est encore ouvert en vue d'une classification complète des groupes d'automorphismes finis qui agissent sur les surfaces K3. Si le temps le permet je donnerai des exemples qui utilisent les fibrations elliptiques. Ces résultats sont obtenus en collaboration avec R. Bell, P. Comparin, J. Li, A. Rinc'on-Hidalgo, A. Zanardini.
Je présenterai des travaux récents qui mettent en scène des hypersurfaces cubiques projectives complexes de dimension trois et les revêtements cycliques ramifiés au-dessus, pour étudier la riche et belle géométrie de la variété de Fano des droites qu'ils contiennent et le comportement de l'automorphisme du revêtement lors de la dégénérescence vers une cubique à singularités isolées.
La conjecture 3n+1 est sans doute le problème ouvert actuel le plus élémentaire de toutes les mathématiques. En itérant la très simple fonction arithmétique T(n)= n/2 ou (3n+1)/2 selon que n est pair ou impair, on ne maîtrise plus grand chose sur l’évolution des trajectoires. En effet, on conjecture depuis des décennies que quel que soit l’entier de départ n0, on finira toujours par tomber sur 1. Mais il semble qu’on soit encore très loin de pouvoir le prouver. Le but de l’exposé est de présenter deux ou trois résultats partiels, tant théoriques qu’expérimentaux, sur ce problème.
Dans cet exposé, on montrera que toute variété algébrique réelle de dimension n contient des hypersurfaces algébriques réelles de degré d dont les nombres de Betti croissent en O(d^n), lorsque le degré d tend vers l’infini. Ceci est l'ordre de croissance maximal autorisé par l'inégalité de Smith-Thom. L’existence de telles hypersurfaces est obtenue à l’aide de techniques probabilistes.
I will be talking about simplicial sets, which are combinatorial objects widely used in topology. But this time, I'll explain how some of them can characterize graphs, and by extension categories. After defining what simplicial sets are, I will show how to associate to each graph a simplicial set, called its nerve. I will then give a nerve for partial order and categories as well. Then, we will study which simplicial sets arise as nerves from a category, given by the so- called Segal condition. Finally, I will show how to recover graphs, partial orders and categories from their nerve.
Weinstein a montré que toute variété de Poisson holomorphe est localement le produit d'une variété symplectique et d'une variété de Poisson dont le rang est nul au point considéré. En particulier, toute variété de Poisson possède un feuilletage naturel dont les feuilles sont des variétés symplectiques. Dans un travail en collaboration avec Jorge Pereira, Brent Pym et Frédéric Touzet, nous montrons que si une variété de Poisson compacte kählerienne X a une feuille compacte L dont le groupe fondamental est fini alors, à un revêtement étale fini près, X est le produit du revêtement universel de L et d'une autre variété de Poisson.
En sémantique des langages, l'équivalence contextuelle de programmes est une notion clef, mais sa définition se prête mal à la manipulation, on cherche donc des modèles corrects et complets lui donnant une expression plus pratique. Les jeux et la sémantique interactive sont de tels modèles, applicables à beaucoup de langages et donnant une équivalence coïnductivement définie. Dans cette présentation je vais esquisser visuellement et de manière intuitive un formalisme de jeux général qui se prête bien à la formalisation dans un assistant de preuve. Je vais également décrire différents genres d'arbres inductifs et coïnductifs ainsi qu'une manière pratique de construire des jeux à partir de composants plus élémentaires.
11h Jacques Blum (Univ Côte d’Azur) : exposé de Mathematiques pour grand public (Amphi Nivolet) 14h Michel Pierre (ENS Rennes) (salle TLR) 15h Laurent Véron (Univ Tours) (salle TLR)
La journée en l'honneur de Pierre aura lieu le lundi 24 octobre de 9h45 à 16h Programme provisoire 10h - 10h45 : hommages de Ph. Galez, Ph. Briand, P. Orro, G. Angénieux, N. Kardos (amphi Nivolet) 11h - 11h45 : exposé de J. Blum (amphi Nivolet) 12h - 14h : buffet au bâtiment EVE 14h - 14h45 : exposé de Michel Pierre (salle TLR) 15h - 15h45 : exposé de Laurent Véron (salle TLR)
Most of you probably heard about ZFC, this formal theory of sets from the early 20th that is said to be the fundamental language for modern math. Much rarer are the mathematicians that actually make use of it! Since the introduction of ZFC, formal logic has evolved a lot and since several decades other formal systems, more general (some would say more useful!) have been brought up. I will try to introduce the motivations for constructive systems, the links with computation, and demystify the law of excluded middle.
Cet exposé présentera l’aspect feuilleté des géométries (connexions) de Cartan qui sont des structures géométriques infinitésimalement modelées sur des espaces homogènes. Après une introduction du cadre classique, nous allons montrer des résultats de classification pour les feuilletages holomorphes avec des géométries de Cartan transverses sur les variétés de Calabi-Yau et sur les variétés rationnellement connexes. L’exposé s’attachera à introduire le cadre classique et les motivations de manière géométrique et accessible.