Depuis Fuchs, on sait associer à une équation différentielle linéaire homogène sur le corps des séries formelles $mathbb{C}((t))$ des exposants. Un nombre complexe $a$ est un exposant de l'équation s'il existe une série formelle $f(t)$ telle que l'équation ait une solution (symbolique) de la forme $t^a cdot f(t)$, où $t^a$ est juste un symbole. Ces nombres aident dans la classification de ces équations. Plus précisément, leur classe modulo les entiers, sont des invariants par isomorphismes du module différentiel associé à l'équation donnée. On rencontre toutefois un problème : si l'ordre de notre équation est $n$, le nombre d'exposants dans $mathbb{C}/mathbb{Z}$ est inférieur ou égal à $n$. En effet, les équations différentielles sur $mathbb{C}((t))$ sont complètement classifiées par la théorie de Galois différentielle et les exposants sont des classifiants (presque complets) de la classe d'isomorphisme de la partie régulière des modules différentiels. Pour les modules irréguliers sans partie régulière il n'y a pas d'exposants. Dans l'exposé on verra qu'en réalité on peut prolonger la théorie des exposants aux modules irréguliers par une méthode qui fait intervenir les groupes de Galois différentiels (ou plus précisément Tannakiens). Cela traduit l'idée qu'une solution générale d'une équation irrégulière est encore de la forme $t^a cdot f(t)$ modulo multiplication ultérieure par des fonctions exponentielles de la forme $exp(q(t))$ et des logarithmes $log(t)$ (théorème de Turrittin). Si le temps le permet, je vais également présenter en quelque mot comment cette méthode fonctionne aussi bien dans certains contextes spécifiques du monde $p$-adiques, qui présentent une forte analogie avec les séries formelles. Notamment, la même méthode permet d'obtenir une théorie des exposants p-adiques pour les équations différentielles, irrégulières ou pas, avec structure de Frobenius sur l'anneau de Robba (théorème de monodromie locale $p$-adique). Travail en collaboration avec M.D'addezio, C.Lazda, A.Pal
We propose a new system of equations modeling Tsunamis in this work. It is a coupled system accounting for both water compressibility and viscoelasticity of the earth. Adding these latter physical effects is responsible for the closest-to-reality time arrival predictions (among existing models), capturing the negative peak before the main wave hump, and exhibiting the negative dispersion phenomena. This comes in remarkable agreement with previous experiments and studies on the topic. The system is also delivered in a relatively simple mathematical structure of equations that is easy to solve numerically.
This talk shall focus on the presentation of a (by now) well studied research topic in the field of stochastic control theory, i.e the case of optimal switching control problems. A main objective of this talk is to provide the connection with system of semilinear PDEs with obstacles which, in addition, are inter- connected. This last feature (among some others) explains why the solution is not smooth (in general). For this reason we study existence and uniqueness of solutions of these PDEs in viscosity sense. In a first part, we shall explain the relationship between the value functional associated with a stochastic control problem and the solution of an explicit semi- linear PDE. For this, we need to introduce both the stochastic framework and some advanced probabilistic tools & technics. Next and after this introductory part, we shall give the precise structure of the system of PDEs we are interested in and provide some theoretical results. If time allows, the last slides present the main steps of one of our main results. This talk is based on several joint works (with Pr. S. Hamadène (LMM), Pr. B Djehiche (KTH Stockholm) and X. Zhao former pHD student at the LMM).
In this study, we propose a new hyperbolic model capable to capture the wave breaking phenomenon. The modelling of breaking waves is obtained by the depth- averaging method of Large-Eddy Simulations (LES) where the small scale turbulence is modeled by a turbulent viscosity, whereas the large scales are taken into account in the model by an anisotropic tensor variable called enstrophy. The hyperbolic structure is derived by replacing the depth-averaged non-hydrostatic pressure with an additional variable. The hyperbolisation of the equations is based on taking into account the finite character of the sound speed and introducing acoustic energy into the system. The resulting model can be viewed as a hyperbolic approximation of the Serre-Green-Naghdi (SGN) equations. Additionally, it has asymptotic dispersive properties to SGN equations as approaching to infinite sound speed. The treatment of breaking wave is to use the so-called switching method which certain terms describing the energy dissipation are activated once the wave breaks. So, we also present a more-robust breaking criteria on which only depends the local variables.
Solving boundary value problems requires implementation of sufficiently robust constitutive models. Most models try to incorporate a great deal of phenomenological ingredients, but this refining often leads to overcomplicated mathematical formulations, requiring a large number of parameters to be identified. On the other hand, geomaterials are known to have an internal microstructure, made up of an assembly of interacting particles. Most of the macroscopic properties, observed on a specimen scale or even on larger scales, mainly result from the microstructural arrangement of grains. Thus, a powerful alternative can be found with micromechanical models, where the medium is described as a distribution of elementary sets of grains. The inherent complexity is not related to the local constitutive description between particles in contact, but to the basic topological complexity taking place within the assembly. This presentation discusses this issue, highlighting very recent results obtained from discrete element simulations. In particular, the so-called critical state regime that develops during localized or diffuse failure is discussed in detail from the perspective of emerging processes taking place within complex media.
TBA
We give an explicit positive answer, in the case of reduced curve singularities, to a question of B. Teissier about the existence of a toric embedded resolution after reembedding. In the case of a curve singularity (C, O) contained in a non singular surface S such a reembedding may be defined in terms of a sequence of maximal contact curves of the minimal embedded resolution of C. We prove that there exists a toric modification, after reembedding, which provides an embedded resolution of C. We use properties of the semivaluation space of S at O to describe how the dual graph of the minimal embedded resolution of C may be seen on the local tropicalization of S associated to this reembedding. This is a joint work with Hussein Mourtada and Ana Belén de Felipe.
Squier's coherence theorem and its generalisations provide a categorical interpretation of contracting homotopies via confluent and terminating rewriting. In particular, this approach relates standardisation to coherence results in the context of higher dimensional rewriting systems. On the other hand, modal Kleene algebras (MKAs) have provided a description of properties of abstract rewriting systems, and classic (one-dimensional) consistency results have been formalised in this setting. In this talk, I will recall the notion of higher Kleene algebra, introduced as an extension of MKAs, and which provide a formal setting for reasoning about (higher dimensional) coherence proofs for abstract rewriting systems. In this setting, I will describe and sketch a proof of the Church-Rosser theorem with higher-dimensional witnesses, and briefly explain how Squier's coherence theorem is formalised.
Among the approaches directed towards the analysis of quantitative properties of programs, one can certainly mention the metric approaches and the differential/resource-aware ones. In both, the notion of (non-)linearity in the sense of linear logic plays a central role: the first ones aim at treating program distances, and duplication leads to interpret bounded programs as Lipschitz maps; the second ones aim at directly handling duplication in the syntax, and duplication leads to interpret programs as power series. A natural question is thus whether these two apparently unrelated ways of handling (non-)linearity can be somehow connected. At a first glance, there seems to be a “logarithmic” gap between the two: in metric models n duplications result in a Lipschitz function nx, while in differential models this results in a polynomial x^n, not Lipschitz. The central insight of my talk is that a natural way to overcome this obstacle and bridge these two viewpoints is to consider differential semantics in the framework of tropical mathematics, which is a rich combinatorial counterpart of usual algebraic geometry in tight relation with optimization and computational problems.
Dans cet exposé, je vais vous raconter comment à des polytopes suffisamment sympathiques et à d'autres objets combinatoires on a associé des variétés complexes qui leur ressemblent, comment cela a permis d'élucider des propriétés remarquables de ces objets via la théorie de Hodge classique (qui étudie la structure cohomologique des variétés complexes), comment, lorsque ces objets ne sont plus si sympathiques, il a fallu développer la théorie de Hodge combinatoire en faisant comme si une variété complexe adéquate était associée à ces objets, et comment, en réalité, on peut bien leur associer une variété adéquate mais une variété tropicale. Ce sera l'occasion de (re)découvrir polytopes, variétés toriques, matroïdes, éventails, théories de Hodge, hypercorps tropical, etc.
I will give an overview of some recent work on applying categorical methods in finite model theory and descriptive complexity. A key idea of a research program started by Abramsky, Dawar et al. in 2017 is that various forms of model comparison game, central to finite model theory, can be encoded as game comonads', i.e. resource-indexed comonads on the category of relational structures. For example, the following ingredients can be captured in a syntax-free way: Ehrenfeucht-Fraïssé games, fragments of first-order logic with bounded quantifier rank, and the combinatorial parameter of tree-depth. This approach covers also finite variable fragments, modal and guarded fragments, and more. The pattern of game comonads has been axiomatised at a general level in terms ofarboreal adjunctions', i.e. adjunctions between an extensional category (typically, in the examples, a category of relational structures) and a resource-indexed family of arboreal' categories. I will illustrate an application of this axiomatic framework to the study ofequi-resource' homomorphism preservation theorems in (finite) model theory, exemplified by Rossman's equirank homomorphism preservation theorem. If time allows, I will also discuss recent work on identifying the expressive power of arboreal adjunctions.
Artin et Pfister ont démontré que tout polynôme réel en n variables qui ne prend que des valeurs >=0 est somme de 2^n carrés de fonctions rationnelles. Après une introduction générale à cette thématique (le dix-septième problème de Hilbert), je présenterai des extensions de ce théorème à des corps de séries formelles ou de fonctions analytiques.
Dans ce séminaire nous étudions des classes d’arbres étiquetés selon différents modèles d’étiquetages croissants. Ces arbres sont utiles dans la modélisation de nombreux processus. Nous adoptons dans nos recherches différents points de vues complémentaires (combinatoire ou probabiliste) afin d’enrichir les résultats connus sur les arbres croissants classiques et de proposer de nouvelles classes d’arbres moins contraintes que les modèles existants dans la littérature.
A prototypical model for an age-structured diffusive population is considered in which individuals are distinguished by age and spatial position. The evolution equation involves a diffusion term for the space variable and a transport term for the age variable supplemented with a nonlocal boundary condition. The linear version of the model gives rise to a strongly continuous semigroup which exhibits the parabolic regularizing effects in the space variable. We determine its asymptotic behavior based on spectral properties of the associated generator. For a nonlinear version of the model we investigate the existence of nontrivial steady states and establish a principle of linearized stability.
Un pavage est un recouvrement du plan par des tuiles qui ne se chevauchent pas. On appelle sous-shift un ensemble de pavages qui est invariant par translation et fermé (pour la topologie habituelle sur les pavages). Ici on s’intéresse au cas où il y a un nombre fini de tuiles à translation près, les tuiles sont des losanges, et à chaque fois que deux tuiles sont adjacentes elle partagent soit un unique sommet en commun soit une arête entière en commun. Sur ces pavages, on peut imposer des règles locales (à la manière des tuiles de Wang) en ajoutant des couleurs sur les arêtes des tuiles avec la règle que deux tuiles qui partagent une arête doivent avoir la même couleur pour cette arête. Dans ce cas, pour une même tuile géométrique, on peut avoir plusieurs copies avec des couleurs différentes sur les arêtes. Étant donné un sous-shift X de pavages par losanges, le problème du domino sur X prend en entrée un ensemble fini de règles locales F et renvoie Vrai si il existe un pavage de X qui respecte les règles locales F et Faux dans le cas contraire. Ce problème est co-Récursivement-Énumérable-complet et nous allons présenter une réduction many-one depuis le problème du domino classique sur les tuiles de Wang.
Une équation différentielle algébrique est fortement minimale si tout sous-ensemble définissable de son ensemble de solutions (considéré dans un corps différentiel universel dans le langage des corps différentiel) est fini ou cofini. Dans mon exposé, je commencerai par présenter cette notion, son histoire et sa relation avec des énoncés de transcendence pour les solutions d’équations différentielles algébriques non linéaires. Je présenterai ensuite un résultat d’abondance pour les équations différentielles autonomes fortement minimales.