Un ensemble fini de sous espaces affines de codimension un d'un espace vectoriel donné est un arrangement d'hyperplans. L'étude des arrangements est un sujet très classique, au carrefour de nombreux domaines des mathématiques comme la combinatoire, la topologie ou la géométrie algébrique. Voici une liste non exhaustive de questions très élémentaires qui sont à l'origine du sujet et qui motivent les travaux le concernant : - ``En combien de régions n droites peuvent diviser le plan ?'' (Roberts 1889, Arnol'd) - Quelles configurations droites/points sont réalisables ? - Combien de pentes sont définies par n points distincts ? (Ungar) - Le problème de Sylvester-Gallai (montrer qu'un ensemble fini de points plans ne possédant pas de bisécante stricte est aligné), - Est-ce qu'un arrangement est déterminé par sa combinatoire ? Je parlerai de la conjecture de Terao (1981 ou 1991) qui concerne plus particulièrement le dernier point (les autres points seront eux aussi abordés). Avec Daniele Faenzi (Univ. Pau) nous avons démontré cette conjecture sur le plan projectif réel ou complexe avec une hypothèse supplémentaire sur les points multiples de l'arrangement. Je présenterai les grandes lignes de notre preuve et surtout de notre approche, radicalement nouvelle par rapport aux approches classiques.
For a positive polynomial $fin mathbb{R}[x_1,ldots,x_n]$ we give necessary and sufficient conditions to existence of an exponent $Ninmathbb{N}$ such that $(1+|x|^2)^Nf(x)$ is a convex function, where $|x|^2={x_1^2+cdots+x_n^2}$. Next we show that if $finmathbb{R}[x_1,ldots,x_n]$ is strictly positive on a closed convex basic semialgebraic set $X={xinmathbb{R}^n:g_1(x)ge 0,ldots,g_r (x)ge 0}$, where $g_1,ldots,g_rinmathbb{R}[x_1,ldots,x_n]$ are concave polynomials, then $f$ can be approximated (in the $l_1$ norm) by polynomials of the quadratic module $Q(g_1,ldots,g_r)$. In the case $X=mathbb{R}^n$ the approximation is uniform on compact sets. Joint work with S. Spodzieja.
Les invariants de Welschinger sont un analogue réel des invariants de Gromov-Witten, et fournissent des bornes inferieures non triviales en géométrie énumérative réelle. Je rappelerai leur définition, puis expliquerai comment les calculer dans le cas des surfaces algebriques réelles rationnelles. Les méthodes principalement utilisées sont la théorie symplectique des champs, pour découper la variété ambiante en morceaux, et une version réelle des équations WDVV établie par Jake Solomon. Cet exposé porte sur deux travaux, l'un en collaboration avec Nicolas Puignau, l'autre en collaboration avec Jake Solomon.
Le discriminant réel est l'ensemble des polynômes homogènes à coefficients réels et pourvus d'au moins une singularité réelle. La norme de Bombieri permet de donner une formule explicite pour la distance au discriminant dont l'étude permet d'obtenir des résultats intéressants en particulier sur les hypersurfaces extrémales (maximum locaux pour la somme des nombres de betti). On définira par exemple la bande critique (la bande la plus large définie par { x in |R^n | ||x|| = 1 et |P(x)| < m} et ne contenant aucun point critique de P) et on montrera que cette bande a une largeur bornée par Pi/sqrt(d) où d est le degré de P lorsque le niveau 0 de P est extrémal. On en déduira une borne (pas très bonne) pour la plus petite valeur critique de P. On regardera le cas particulier de la dimension 0 (polynome homogène à deux variables) où l'on peut trouver une borne optimale de la plus petite valeur critique pour les polynomes de degré d à d racines.
Suite de l'exposé précédent
Si X est un champ de vecteur analytique de R^{n+1} au voisinage de 0 et admettant une série formelle invariante S(x)=(x,S_1(x),...,S_n(x)), on montre qu'il existe une courbe s:(0,epsilon)-> R^{n+1}, invariante pour X et admettant S comme développement asymptotique à l'origine. Il s'agit d'un travail commun avec T. Cano et F. Sanz.
(Exposé en deux parties : 04/10 et 11/10.) Dans ces exposés, on étudie l'existence de certains types de l'inégalité de Lojasiewicz sur des domaines non-compacts et de l'inégalité de Lojasiewicz globale pour les applications polynomiales de plusieurs variables. Partie II: on montre que si une application polynomiale est non-dégénérée au sens Mikhailov-Gindikin, l'inégalité de Lojasiewicz globale existe et les exposants peuvent être calculés.
(Exposé en deux parties : 04/10 et 11/10.) Dans ces exposés, on étudie l'existence de certains types de l'inégalité de Lojasiewicz sur des domaines non-compacts et de l'inégalité de Lojasiewicz globale pour les applications polynomiales de plusieurs variables. Partie I: on montre que sous certaines conditions de non-dégénérescence au sens de Khovanskii, l'inégalité de Lojasiewicz globale existe.
Le 17 ème problème de Hilbert (1900) est le suivant: est ce qu'un polynôme positif en plusieurs variables est une somme de carrés de fractions rationnelles ? La réponse positive d'Artin (1927) est basée sur le lemme de Zorn: tout corps réel (où -1 n'est pas une somme de carrés) peut être ordonné. Artin note déjà qu'une construction effective de la somme de carrés serait souhaitable mais semble difficile. La difficulté vient des dénominateurs: quelles sont les bornes sur leurs degrés ? Un travail de Kreisel (1957) donne des bornes primitive récursives, mais pas élémentairement récursives (i.e. majorés par une tour finie d'exponentielles) Notre travail (en progrès) donne une tour de cinq exponentielles dans le nombre des variables et le degré du polynôme. (Travail en commun avec Henri Lombardi et Daniel Perrucci.)
Given any complex Laurent polynomial f we give an efficiently constructible polyhedral approximation of the amoeba of f, i.e., the image of the complex zero set of f under the log absolute value map. We call our polyhedral approximation the Archimedean tropical variety. Our main result is an explicit upper bound (as a function of the sparsity of f) for the Hausdorff distance between these two sets. We thus obtain an Archimedean analogue of Kapranov's Non-Archimedean Amoeba Theorem, and a higher-dimensional extension of earlier estimates of Mikhalkin and Ostrowski. As applications, we obtain efficient approximations for the possible norms of complex roots of polynomial systems, and an alternative, arguably more geometric proof of a formula of Khovanski relating lattice points in polygons and curve genus.
La géométrie spectrale est une branche des mathématiques relativement jeune, et qui se développe très rapidement. Son âge d'or s'est amorcé, entre autre, sous l'influence de Marc Kac qui, en 1966, formula la célèbre question: ``Can one hear the shape of a drum?''. La géométrie spectrale étudie les liens entre la géométrie d'un espace et les valeurs propres d'un opérateur (Laplacien, Dirac, de Schrödinger, etc) agissant sur les fonctions de cet espace. Dans cet exposé, je me concentrerai sur le spectre de l'opérateur de Dirichlet-Neumann. Cet opérateur agit sur les fonctions du bord d'une variété Riemannienne. Son spectre est connu sous le nom de spectre de Steklov de la variété. Je m'attarderai principalement aux aspects isopérimétriques. Les résultats que je présenterai ont été obtenus en collaboration avec Iosif Polterovich, ainsi qu'avec Bruno Colbois et Ahmad El Soufi. Plusieurs de ces résultats semblent indiquer que le spectre de l'opérateur Dirichlet-Neumann est lié à la géométrie sous-jacente de manière similaire au spectre de l'opérateur de Laplace-Beltrami, mais nous verrons qu'il existe des exemples où ces liens sont tout à fait différents, et peut-être même surprenants.
En géométrie algébrique complexe, les relations entre les fibres de Milnor et les espaces d'arcs d'une fonction polynomiale sont riches, illustrées notamment par les travaux sur les fonctions zêtas motiviques de Denef & Loeser, Nicaise & Sebag et plus récemment Hrushovski & Loeser. Dans le cadre réel, l'absence de monodromie complique la compréhension et rend mystérieuses ces relations. Dans l'exposé, on considère un objet (faiblement o-minimal) composé de séries de Puiseux réelles qui pourrait créer un pont entre ces aspects topologiques et algébriques. On montre en particulier que l'objet en question rend compte de l'homologie de la fibre de Milnor réelle.
J'expliquerai que dans R^n, le nombre moyen de composantes connexes d'une hypersurface algébrique réelle aléatoire de degr'e d est plus grand que exp(-70 exp(n)) sqrt d^n, pour d assez grand. La démonstration repose sur la résolution du dbar avec estimées L^2 de Hörmander, et c'est un travail en commun avec Jean-Yves Welschinger.
Le théorème d'Abhyankar-Jung affirme que les racines d'un polynôme à coefficients des séries formelles sur un corps de caractéristique nulle et dont le discriminant est un monôme multiplié par une unité sont des séries de Puiseux en plusieurs variables. Nous présenterons une généralisation de ce résultat pour les polynômes dont le discriminant est un polynôme quasi-homogène multiplié par unité. Nous rappellerons la construction de Newton-Puiseux pour la construction des racines d'un polynômes à coefficients dans le corps des racines en une variable.
Je vais présenter un travail en commun avec A. Chambert-Loir dans lequel nous développons, dans le cadre analytique p-adique, et plus précisément dans celui des espaces de Berkovich, un formalisme de type 'formes et courants' ressemblant à celui qui existe en géométrie complexe : nous définissons des formes de type (p,q), l'intégrale d'une forme de type (n,n) et l'intégrale de bord d'une forme de type (n-1,n) (où n est la dimension de l'espace ambiant) ; nous prouvons l'analogue de la formule de Stokes et de la formule de Poincaré-Lelong.... Nous utilisons de manière absolument cruciale une théorie des formes de type (p,q) sur R^n (que nous rapatrions ensuite dans le monde Berkovich) qui a été mise au point par Lagerberg avec des motivations tropicales ; je consacrerai une première partie de l'exposé à expliquer sa construction.