Considérons un lacet tracé dans l'ensemble des points réels d'une variété algébrique réelle. Peut-on l'approcher par le lieu réel d'une courbe algébrique incluse dans la variété ? Il s'agit d'une question classique en géométrie réelle. Dans cet exposé, nous expliquerons ce qui est connu, et présenterons de nouveaux résultats positifs et négatifs, obtenus en collaboration avec Olivier Wittenberg.
J'expliquerai ce qu'est un diviseur libre puis je donnerai une méthode de construction de tels diviseurs. Les arrangements de droites sont des diviseurs particulièrement étudiés du plan projectif. Nous donnerons quelques arguments prouvant la liberté de certains d'entre eux, puis nous établirons un lien avec les projections de variétés de Veronese dont les espaces tangents d'ordre supérieur n'ont pas la dimension attendue.
Les nombres de Hurwitz comptent le nombre de revêtements ramifiés, de degré d et de genre g, de la droite projective complexe avec des profils de ramification fixés aux points de branchements respectifs. On considère le problème de comptage des revêtements de genre nul, munis d'une structure réelle à partir de la conjugaison complexe, tels que tous les points de branchements soient réels. En imposant à un des points de branchement un profil de ramification particulier, on associe alors un signe à chaque revêtement à partir de la position des points de ramification. De manière analogue aux travaux d'Itenberg et Zvonkine sur les nombres de Hurwitz réels polynomiaux, on démontre que le nombre total de revêtements, comptés avec signe, ne dépend pas de l'ordre des points de branchement dans la droite réelle.
Nous discuterons des notions différentes du concept de linéarisation des systèmes non linéaires de contrôle : à l’aide de difféomorphismes dans l’espace d’état, par bouclage, par bouclage orbital et par precompensation dynamique. Pour les trois premières notions nous rappellerons des conditions géométriques nécessaires et suffisantes pour la linéarisation et donnerons des méthodes de construire les transformations linéarisantes. Ensuite, on se concentrera sur les systèmes linéarisables par bouclage dynamique, dits systèmes plats. Nous présenterons des plusieurs définitions équivalentes (en particulier, des relations avec la notion de l’équivalence absolue de Cartan) et discuterons des difficultés principales qui empêchent l’obtention des conditions nécessaire et suffisantes. Nous présenterons des solutions complètes dans des cas particuliers (distributions de contact ou les systèmes de poids différentiel minimal).
Soient f1,...,fp des polynômes quadratiques en n variables lacunaires (fewnomials) à coefficients dans un corps K, tels que le système f1 = ... = fp = 0 n'admette pas de solution sur la clôture algébrique de K. On s'intéresse dans cet exposé à une version effective du Nullstellensatz : sous quels conditions sur le support monomial de f1,...,fp existe-t-il probablement des polynômes g1,...,gp ``petits'' tels que f1g1 + ... + fpgp = 1 ? Nous montrerons que lorsque le nombre de carrés dans le support monomial excède n^(1/2+epsilon), que le support est tiré aléatoirement parmi ceux de cardinalité n+k+1 (pour une constante k fixée) et sous des hypothèses de généricité sur les coefficients, il existe des certificats (g1,...,gp) avec le même support monomial que (f1,...,fp) avec probabilité proche de 1, et que ceux-ci peuvent être calculés efficacement. Ce résultat et sa preuve sont fortement reliés à des propriétés combinatoires de graphes aléatoires dans le modèle d'Erdös-Renyi. Nous illustrerons ce résultat par des observations expérimentales et discuterons de ses liens avec le problème de la résolution de systèmes quadratiques lacunaires. Travail commun avec Jean-Charles Faugère et Jules Svartz
The monodromy groups of hypergeometric differential equations of type nFn-1 are often called hypergeometric groups. These are subgroups of GL_n . Recently, Arithmeticity and Thinness of these groups have caught a lot of attention. In the talk, a gentle introduction and recent progress to the theory of hypergeometric groups will be presented. In the same spirit, theory of Salem groups will also be introduced.
The blowing up of a monomial ideal in the affine space is non necessarily normal. It is covered by affine charts determined by certain semigroup algebras. We explain how one can generalize this example to define toric varieties without the normality assumption. Gonzalez-Sprinberg proved that the Semple-Nash modification on a toric variety is described by the blowing up of certain monomial ideal. We study some properties of this modification in terms of monomial valuations. This is a joint work with B. Teissier.
Une structure réelle sur une variété projective complexe X est une involution antiholomorphe sur cette variété. La donnée d'une telle structure équivaut à la donnée d'une variété réelle dont la complexification est isomorphe à X (i.e. une forme réelle de X). Le but de cet exposé est de montrer comment l'étude des groupes d'automorphismes des surfaces rationnelles peut être utilisée en vue de donner des éléments de réponse à la question de la finitude du nombre de classes d'équivalence de structures réelles sur ces éclatés, i.e. la finitude du nombre de leurs formes réelles à isomorphisme près. En particulier, nous montrerons qu'une surface rationnelle dont le groupe d'automorphismes ne contient pas un groupe libre non-abélien admet un nombre fini de formes réelles puis nous donnerons au moins un exemple de surface rationnelle ayant à la fois un nombre fini de formes réelles à isomorphisme près et un ``grand'' groupe d'automorphismes.
Si on se donne un système générique de n équations polynomiales en n variables de degrés d_1,...,d_n, alors le théorème de Bézout implique que ce système a exactement le produit des degrés nombre de solutions dans le tore complexe (C^*)^n. Maintenant si l'on prend des combinaisons linéaires génériques des équations, on obtient un système équivalent où toutes les équations ont le même degré d (le maximum des degrés), et le théorème de Bézout donne alors la quantité d^n qui surestime le nombre de solutions du système si au moins un d_i est plus petit que d. En général, une borne sur le nombre de solutions isolées dans le tore complexe d'un système polynomial est donnée par le volume mixte de polytopes de Newton du système. Ce volume mixte est une fonction croissante de ses arguments. Lors de cet exposé, on donnera plusieurs caractérisations de cette croissance stricte. C'est un travail en commun avec Ivan Soprunov (Université de Cleveland).
Les séries de Dirichlet fonctions zêta à une ou plusieurs variables sont des objets importants qui apparaissent naturellement dans plusieurs domaines des mathématiques : la théorie des nombres, la géométrie algébrique, la théorie des groupes, la physique mathématique, les systèmes dynamiques, la géométrie fractale, etc. L’étude de ces fonctions est transversale à la subdivision traditionnelle en disciplines mathématiques : algèbre, analyse, topologie, géométrie, combinatoire qui sont toutes nécessaires pour les étudier. Dans cet exposé, nous présenterons un aperçu général de ce sujet et des méthodes utilisées pour étudier plusieurs classes de séries de Dirichlet et fonctions zêtas à plusieurs variables. Nous donnerons en particulier plusieurs résultats les concernant (prolongement méromorphe, localisation des singularités, valeurs spéciales, etc.) Nous donnerons aussi quelques applications (en théorie des nombres, en géométrie arithmétique, en géométrie fractale, etc.) pour justifier l’étude de ces différentes classes.
On considère une famille méromorphe d'endomorphismes d'un espace projectif complexe paramétrée par le disque. Cette donnée nous fournit une famille de mesures de probabilité paramétrée par le disque épointé. Nous montrerons comment on peut analyser la convergence de cette suite au dessus de la fibre centrale en utilisant des techniques non-archimédiennes, et en déduire un contrôle de l'explosion de l'exposant de Lyapunov à l'origine.
On s'intéressera à un modèle naturel de sous-variété algébrique aléatoire de RP^n, obtenue comme lieu d'annulation d'un polynôme P_d aléatoire de degré d. Je présenterai deux résultats qui donnent les asymptotiques de l'espérance et de la variance du volume de cette sous-variété, lorsque d tend vers l'infini. Nous montrerons également que (P_d)^{-1}(0) s'équidistribue dans RP^n asymptotiquement, en un sens à préciser. Plus généralement, ces résultats sont valables pour des sous-variétés aléatoires d'une variété projective réelle. Les asymptotiques ne dépendent alors de la variété ambiante que par sa dimension et son volume.
Dans cet exposé, nous introduisons une description combinatoire pour décrire et classifier les G-variétés normales avec orbites sphériques, où G est un groupe algébrique linéaire connexe réductif. Un des exemples fondamentaux est le cas où G = T est un tore algébrique (c'est à dire, T est le produit d'un nombre fini d'exemplaires du groupe multiplicatif du corps de base). Dans ce cas, l'approche d'Altmann-Hausen-Suess décrit une T-variété normale X via une modification T-équivariante f de X' vers X, où X' est une fibration torique au dessus d'une variété lisse Y. Leur approche obtenue en 2008 est de considérer un diviseur sur Y dont les coefficients sont des subdivisions polyédrales encodant l'information sur la modification f et la géométrie des fibres de la fibration de X' vers Y. En particulier, lorsque Y est un point, nous retrouvons la description classique des variétés toriques en termes d'éventails de cônes polyédraux saillants. Nous expliquerons comment généraliser cette description dans le cadre plus général des actions de groupes réductifs avec orbites sphériques et discuterons sur les applications possibles en théorie des singularités. L'exposé se veut introductif et ne demande pas de prérequis particulier.
Dans cet exposé, nous commencerons par définir les invariants motiviques à l'infini d'un polynôme. Nous étudierons ensuite le cas d'un polynôme à deux variables et à coefficients complexes. Les calculs seront donnés en termes des polygones de Newton du polynôme. Lorsque le polynôme est non dégénéré pour son polygone de Newton, le calcul est aisé, dans le cas contraire,nous proposons un raisonnement par induction utilisant des transformations de Newton et des polygones itérés à hauteur décroissante. Travail en commun avec Pierrette Cassou-Nogues (Bordeaux)
Nous montrons la stabilité sous intégration et transformation de Fourier d’une algèbre explicite de fonctions contenant les fonctions sous-analytiques et leurs exponentielles complexes. Il s'agit d'un article en commun avec R. Cluckers, D. Miller, J. P. Rolin & T. Servi.
En tant que nouvel arrivant au laboratoire, je voudrais présenter lors de cet exposé des questions, des sujets de recherche qui m'intéressent. La question du temps nécessaire algorithmiquement pour l'évaluation de polynômes naturels semble fondamentale. Quelle est la meilleure façon de calculer un polynôme f(X_1,…,X_n) à partir des opérations arithmétiques basiques + et *? En fait, certains polynômes sont difficiles à calculer. Par exemple, évaluer le permanent d'une matrice revient à compter le nombre de mariages parfaits dans un graphe. Une autre façon de voir ce problème est celui de la possibilité d'exprimer le permanent comme déterminant d'une matrice, une question déjà soulevée par Pólya et Szegö en 1913. On commencera par une présentation de pistes de recherche actuelles en complexité arithmétique. On verra des relations avec des questions de géométrie algébrique (en particulier, en géométrie réelle) et les questions qui apparaissent - ou plutôt ressurgissent - dans ce domaine. Ainsi, de nombreuses propriétés des variétés réelles définies par des courbes creuses sont encore très mal connues. Je finirai par présenter mes derniers résultats : en particulier, je montrerai comment obtenir des bornes inférieures ``presque''-cubiques (et ainsi battre les bornes précédentes quadratiques) sur la taille des circuits arithmétiques de profondeur 3 calculant un polynôme donné.
We study isolated singularities of a space embedded in a smooth Riemannian manifold from a differential geometric point of view. While there is a considerable literature on bi-lipschitz invariants of singularities, we obtain a more precise (complete asymptotic) understanding of the metric properties of certain types of singularities. This involves the study of the family of geodesics emanating from the singular point. While for conical singularities this family of geodesics, and the exponential map defined by them, behaves much like in the smooth case, the situation is very different in the case of cuspidal singularities, where the exponential map may fail to be locally injective. We also study a mixed conical-cuspidal case. Our methods involve the description of the geodesic flow as a Hamiltonian system and its resolution by blow-ups in phase space. This is joint work with Vincent Grandjean.
Dans cet exposé, on donne quelques versions des inégalités de Lojasiewicz (du gradient et pour la fonction de distance) quand les fonctions considérées sont la fonction de la valeur propre maximale d'une matrice polynomiale symétrique et la fonction de la valeur singulière minimale d'une matrice polynomiale quelconque.