We call a closed basic semialgebraic subset X of R^n homogeneous if it is defined by a finite system of strict inequalities with homogeneous polynomials. We prove an effective version of the Putinar and Vasilescu Positivstellensatz for positive homogeneous polynomials on homogeneous semialgebraic sets.
L'espace des arcs centrés en un point donné d'une variété a une structure de cône, qui induit une structure d'algèbre graduée sur l'algèbre de l'espace des arcs. La série de Hilbert-Poincaré associée à cette algèbre est un invariant des singularités. Je vais introduire cet invariant, parler de son calcul pour certaines singularités et d'une relation entre cette série et une fameuse identité de la théorie des partitions, qui est due à Rogers et à Ramanujan. C'est un travail en commun avec Clemens Bruschek et Jan Schepers.
It is long known that any expansion, M, of the field of real numbers that defines N (the set of all natural numbers) also defines every real Borel set, hence also every real projective set (in the sense of descriptive set theory). Thus, one can easily ask questions about the definable sets of M that turn out to be independent of ZFC (e.g., whether every definable set is Lebesgue measurable). This leads naturally to wondering what can be said about its definable sets if M does not define N. Philipp Hieronymi (Urbana-Champaign) and I have recently obtained a result that can be stated loosely as: M avoids defining N if and only if all metric dimensions commonly encountered in geometric measure theory, fractal geometry and analysis on metric spaces coincide with topological dimension on all images of closed definable sets under definable continuous maps. I will make this statement precise (assuming essentially no knowledge of model theory or dimension theory), explain its significance, and give some easy (yet striking) corollaries and applications.
In joint work with Raf Cluckers, we propose a conjecture for exponential sums which generalizes both a conjecture by Igusa and a local variant by Denef and Sperber, in particular, it is without the homogeneity condition on the polynomial in the phase, and with new predicted uniform behavior. The exponential sums have summation sets consisting of integers modulo p^m lying p-adically close to y, and the proposed bounds are uniform in p, y, and m. We give evidence for the conjecture, by showing uniform bounds in p, y, and in some values for m. On the way, we prove new bounds for log-canonical thresholds which are closely related to the bounds predicted by the conjecture.
Les courbes de Harnack simples ont été introduites et classifiées par Mikhalkin au début des années 2000. Ces courbes constituent des objets extrémaux en géométrie algébrique réelle, et se retrouvent de manière surprenante dans d'autres domaines des mathématiques. Après avoir donné leur définition, je donnerai une preuve alternative et élémentaire du théorème de classification des types topologiques des courbes de Harnack. Cette preuve permet en particulier d'étendre le résultat de Mikhalkin aux courbes pseudoholomorphes réelles.
Au cours de cet exposé, nous nous intéresserons à quelques limites singulières issues de problèmes de la mécanique des fluides. Nous verrons qu'une approche couplant géométrie et analyse fonctionnelle est nécessaire lorsque l'on désire comprendre certains phénomènes physiques sous-jacents : amortissement, croisements de valeurs propres, transversalité, EDO singulières, analyse microlocale sont quelques exemples de concepts mathématiques que l'on est alors amené à rencontrer. Nous discuterons quelques exemples récemment étudiés et exhiberons quelques problèmes actuels.
Abstract: In papers by Alon, Pach, Pinchasi, Radoicic, Sharir and Fox, Gromov, Lafforgue, Naor, Pach it is demonstrated that families of graphs with the edge relation given by a semialgebraic relation of bounded complexity satisfy much stronger regularity properties than arbitrary graphs, and can be decomposed into very homogeneous semialgebraic pieces modulo a small mistake (for example the incidence relation between points and lines on the real plane, or higher dimensional analogues). We show that in fact the theory can be developed for families of graphs whose edge relation is uniformly definable in a structure satisfying a certain model theoretic property called distality, with respect to a large class of measures. Moreover, distality characterizes these strong regularity properties. The result is similar in spirit to the recent algebraic regularity lemma of Tao, but covers an orthogonal class of examples (and applies in particular to graphs definable in arbitrary o-minimal theories and in p-adics). Joint work with Sergei Starchenko.
Nous montrons une version presque complexe d'une question de Bogomolov concernant le plongement de variétés complexes compactes dans un espace projectif complexe. C'est un travail en commun avec Jean-Pierre Demailly.
Némethi and Veys proved a generalized monodromy conjecture using the technique of splicing. They considered a topological zeta function with respect to a differential form and included this information into the splice diagram. This splice diagram is essentially a decorated dual graph of an embedded resolution and splicing is operation on these splice diagrams. It splits such a graph into two parts and their topological zeta functions are related by a splicing formula. An interesting question is then what happens if we look at more general zeta functions such as the motivic zeta function and the monodromic motivic zeta functions. I will illustrate these (splice) diagrams using easy examples and give another proof of the splicing formula. The advantage of this proof is that it also is valid for these other zeta functions. However I will also discuss some problems arising from considering these other zeta functions.
La fonction zêta Z_f(T) d'un polynôme complexe f est une fonction génératrice qui encode certaines propriétés arithmétiques de f. Elle est principalement étudiée pour son rôle central dans la conjecture de monodromie, qui prédit un lien précis entre ses pôles et des propriétés topologiques de f. Une formule classique permet de déterminer un ensemble de candidats pôles à partir d'une résolution des singularités de lieu d'annulation de f, mais cet ensemble introduit malheureusement beaucoup de faux pôles. Nous montrons comment le concept de log lissité, issu de la géométrie logarithmique, permet de travailler sur des résolutions des singularités partielles et ainsi d'obtenir un ensemble réduit de candidats pôles pour Z_f(T). Ce résultat ouvre des perspectives quant à la résolution de la conjecture de monodromie.
Sparse elimination theory is a framework developed during the last decades to exploit monomial structures in systems of Laurent polynomials by computing in semigroup algebras. We present an analog of Gröbner bases for semigroup algebras, and we propose variants of the algorithms F5 and FGLM to compute them. These objects provide algorithmic tools to compute efficiently the solutions of sparse systems of equations when all the polynomials share the same monomial support (unmixed case). When these monomials correspond to the points with integer coordinates in a normal lattice polytope and under regularity assumptions, we prove complexity bounds which depend on the combinatorial properties of this polytope. Our prototype ``proof-of-concept'' implementation shows large speed-ups (more than 100 for some examples) compared to classical Gröbner bases software. Joint work with Jean-Charles Faugère and Jules Svartz.
Sur une variété algébrique définie sur les rationnels et dont les points rationnels sont denses pour la topologie de Zariski, il est naturel de mesurer la complexité des solutions à l'aide d'une hauteur et de regarder la distribution asymptotique des points de hauteurs bornée sur la variété. Des travaux initiés par Manin il y a une vingtaine d'années permettent de lier cette distribution à la géométrie de la variété. Le but de l'exposé est de présenter divers exemples illustrant les phénomènes rencontrés et les interprétations qu'on peut espérer en tirer.
Le théorème de Puiseux classique dit que les solutions y=g(x) d'une équation analytique réelle f(x,y)=0 au voisinage de l'origine, sont des séries de Puiseux convergentes. Le but de mon exposé sera d'étendre ce résultat, et ses versions en plusieurs variables, à la classe des séries généralisées convergentes. Une série généralisée (en plusieurs variables) est une série de puissances à exposants réels positifs dont le support est contenu dans un produit cartésien de sous-ensembles bien ordonnés de la droite réelle. Soit A la collection de toutes les séries généralisées convergentes. Je vais montrer que si f(x_1,...,x_n,y) est dans A, alors les solutions y=g(x_1,...,x_n) de l'équation f=0 peuvent être exprimées par morceaux comme des compositions finies de quotients de fonctions de A. Ce résultat s'étend à des classes de fonctions définissables dans des expansions o-minimales polynomialement bornées du corps réel, telles les classes quasianalytiques de Denjoy-Carleman, les séries Gevrey multi-sommables et une classe qui contient certaines applications de transition de Dulac associées à des champs de vecteurs analytiques du plan.
Travail en commun et en cours avec M. Hickel. Nous essayons de comprendre ce qui distingue une série de Puiseux algébrique (sur K(x) le corps des fonctions rationnelles à 1 variable en caractéristique nulle) d'une série de Puiseux formelle. Plus précisément, nous nous intéressons - et répondons en partie - aux questions suivantes : - étant donnée une équation polynomiale P(x,y)=0, quelle expression pour les coefficients d'une série de Puiseux y(x) solution en fonction des coefficients de l'équation ? - étant donnée une série de Puiseux algébrique, peut-on reconstruire un polynôme annulateur, éventuellement minimal ? comment ? Il existe une littérature variée sur ce thème, que j'essaierai de rapporter, avant d'aborder nos contributions.
In this talk I will focus on the problem of understanding the topology of an intersection X of real quadrics. I will introduce a new notion of geometric complexity (inspired to fewnomials and related), using the discriminant in the space of quadratic forms. I will discuss a sort of duality'' between X and the set of singular quadrics in the linear system defining it; in the case of intersections of three quadrics this picture offers adual'' point of view on Hilbert's Sixteenth Problem.