On étend le théorème du complémentaire de Gabrielov à certaines algèbres différentielles. Soit F une algèbre différentielle d'applications C infinies. On appelle semi-F les ensembles décrits par des égalités et inégalités portant sur des applications de F, et sous-F les projections des semi-F. On montre alors que si la structure engendrée par F est o-minimale et polynomialement bornée, alors les sous-F sont stables par passage au complémentaire.
Cet expose se propose de donner un cadre tres general permettant de definir les notions de courbure d un objet geometrique. Nous rappelerons les resultats bien connus sur le volume des convexes epaissis, la formule des tubes de Weyl et nous montrerons comment la theorie du cycle normal a permis de generaliser ces resultats. Enfin, nous donnerons des applications de cette theorie, notamment en informatique graphique.
The $K$-moment problem originates in Functional Analysis: for a linear functional $L$ on $R[X_1,...,X_n]$, one studies the problem of {it representing $L$ via integration}. That is, one asks whether there exists a measure $mu$ on Euclidean space $R^n$, supported by some given (basic closed semi-algebraic) subset $K$ of $R^n$, such that for every $f in R[X_1,...,X_n]$ we have $L(f) = int f dmu$. Via Haviland's Theorem, the $K$-moment problem is closely connected to the problem of {it representing positive (semi)definite polynomials on $K$}. This representation question goes back to Hilbert (Hilbert's 17th Problem and its solution by Artin and Schreier). A very general solution was given in Stengle's Positivstellensatz, which heavily relies on the use of Tarski's Transfer Principle. In his solution of the Moment Problem for compact $K$, Schmudgen (1991) exploits this connection, and proves that a surprisingly strong version of the Positivstellensatz holds in the compact case. Schmudgen's result provides a strong motivation to study refined versions of the Positivstellensatz. Following rapidly on his work, several generalizations of his results were worked out. In this talk, we provide a brief account of these developments, concluding with our contribution to extend Schm``udgen's Theorem to non-compact semi-algebraic sets.
I will give the valuation theoretical content of local uniformization, which is the local form of resolution of singularities (with respect to a given place of the function field). Zariski proved in 1940 that local uniformization always holds in characteristic 0. But like resolution of singularities, local uniformization is still an open problem in positive characteristic. I will show that this problem is related to the defect, a valuation theoretical phenomenon that appears only in positive characteristic. I will give examples for the defect and discuss two theorems that help to tackle the defect. These theorems lead to two important theorems about local uniformization in arbitrary characteristic: 1) it always holds for so-called Abhyankar places 2) it always holds after a finite extension of the function field (this is a local version of de Jong's result).
La géométrie projective de courbes de sous-espaces de dimension n dans un space vectoriel de dimension 2n est à la fois riche et simple. On montrera que cette géométrie permet d'unifier les travaux de Grifone, Foulon, et Agrachev et al. sur les notions de courbure pour les équations différentielles du second ordre.
Let X be an algebraic manifold without compact component and let V be a compact coherent analytic hypersurface in X, with finite singular set. We prove that V is diffeotopic (in X) to an algebraic hypersurface in X if and only if the homology class represented by V is algebraic and singularities are locally analytically equivalent to Nash singularities. This allows us to construct algebraic hypersurfaces in X with prescribed Nash singularities. Joint work with Wojciech Kucharz.
Nous traduisons en theorie des semi-groupes le Calcul de Malliavin du genre de Bismut afin d'obtenir des resultats de regularite des semi-groupe. Nous traduisons notre preuve des estimations de Varadhan inferieures (obtenues anterieurement par le Calcul de Malliavin) en theorie des semi-groupes. Nous donnons une traduction en theorie des semi-groupes de l'approximation de Wong-Zakai des diffusions, ce qui nous permet d'eliminer pratiquement toute la theorie des processus stochastiques de notre resultat avec Ben Arous concernant la stricte positivite d'un noyau de la chaleur.
Let $A \subset \R^n$ be a set-germ at $0 \in \R^n$ such that $0 \in \overline{A}$. We say that $r \in S^{n-1}$ is a direction of $A$ at $0 \in \R^n$ if there is a sequence of points ${ x_i } \subset A \setminus { 0 }$ tending to $0 \in \R^n$ such that ${x_i \over | x_i |} \to r$ as $i \to \infty$. Let $D(A)$ denote the set of all directions of $A$ at $0 \in \R^n$. Let $A, \ B \subset \R^n$ be subanalytic set-germs at $0 \in \R^n$ such that $0 \in \overline{A} \cap \overline{B}$. We study the problem of whether the dimension of the common direction set, $\dim (D(A) \cap D(B))$, called the {\em kissing dimension} of $A$ and $B$ at $0 \in \R^n$, is preserved by a bi-Lipschitz homeomorphism. We show that in general it is not preserved. We prove that the kissing dimension is preserved if the images of the subanalytic sets under consideration are also subanalytic. In particular, if two subanalytic set-germs are bi-Lipschitz equivalent, then their direction sets must have the same dimension.
(Travail commun avec C. Boubel et P. Mounoud)
Nous étudions les feuilletages de dimension 1 sur les variétés compactes de dimension 3 dont l’holonomie préserve une métrique lorentzienne transverse. Sous une hypothèse de complétude, nous les classifions et nous en déduisons la classification duale pour les feuilletages de codimension 1 de type temps qui sont totalement géodésiques et géodésiquement complets. Nous donnons aussi un exemple exotique de feuilletage dans le cas non complet.
Les surfaces elliptiques propres réelles, c’est-à-dire les surfaces dont la dimension de Kodaira est égale à 1, constituent la seule classe de surfaces algébriques réelles de type spécial dont la classification topologique n’est pas achevée.
Quand le nombre de Hodge h0,1(X) est nul, c’est-à-dire que la surface elliptique X est régulière, nous donnons une réponse complète à la question des valeurs possibles des nombres de Betti de la partie réelle, pour chaque famille complexe. En particulier, nous retrouvons les réponses bien connues à cette question dans le cas des surfaces elliptiques rationnelles et les surfaces K3 elliptiques.
About 10 years ago, Boris Shapiro and Michael Shapiro made a remarkable conjecture about real solutions to geometric problems coming from the classical Schubert calculus. While the conjecture remains open, there is truly overwhelming computational evidence supporting it, and Eremenko and Gabrielov proved it for Grassmannians of 2-planes, where the conjecture is the appealing statement that a rational function with only real critical points must be real.
In my talk, I will introduce the Shapiro conjecture and discuss what we know about it. This includes a simple counterexample and a refinement which is supported by massive experimental evidence. This evidence includes tantalizing computations which suggest a strengthening: that a certain discriminant polynomial is a sum of squares, or more generally that it has such an algebraic certificate of positivity.
Un ovale d’une courbe algébrique réelle plane est dit pair, s’il est contenu dans un nombre pair d’ovales de la courbe. En 1906, Virginia Ragsdale a conjecturé que pour toute courbe de degré 2k avec p ovales pair,
On appelle circuit tout ensemble de n+2 points entiers dans Zn. Un système polynomial est supporté par un circuit si ses n équations ont pour support commun un circuit dans Zn.
On donne ici des bornes supérieures sur le nombre de solutions réelles d’un tel système en fonction du "rang modulo 2" du circuit et de la dimension de l’espace affine du sous-ensemble minimal du circuit constitué de points affinement dépendants. On montre que ces bornes sont exactes en dessinant des graphes sur la sphère de Riemann, qui sont des exemples de "Dessins d’enfants".
On obtient aussi qu’un tel système a au plus n+1 solutions positives (dont toutes les coordonnées sont strictement positives), et cette borne est exacte. Cette dernière borne n+1 améliore considérablement la borne donnée par le théorème de Khovanskii (théorie des Fewnomials).
Je présenterai deux résultats concernant le contrôle d’une structure o-minimale par ses ensembles définissables de dimension deux :
- La structure engendrée par les sous-ensembles semi-algébriques de R2 élimine ses quantificateurs (théorème de Tarski-Seidenberg pour les ensembles semi-2-algébriques).
En particulier, il existe une structure o-minimale strictement plus petite que celle des semi-algébriques mais qui définit (exactement) TOUS les ensembles semi-algébriques de R2.
- Considérons une expansion (o-minimale) S du corps des réels qui admet un théorème de décomposition C^{infty}.
S’il existe un n>1 tel que tous les ensembles S-définissables sont en fait semi-algébriques alors S est la structure des semi-algébriques.
On peut ainsi "reconnaître" les structures qui définissent des ensembles non semi-algébriques dès la dimension 2.
Soit $(X, omega)$ une variété symplectique de dimension quatre équipée d’une involution antisymplectique $c_X$. Le lieu fixe de $c_X$ est une surface lagrangienne lisse notée $R X$. Soit $L$ une courbe lisse de $R X$ qui réalise $0$ dans $H_1 (R X ; /2)$. Je présenterai la construction d’invariants par déformation du quadruplet $(X, omega, c_X, L)$. Ces invariants sont obtenus en comptant avec signe les courbes $J$-holomorphes réelles qui réalisent une classe d’homologie donnée, passent par un nombre adéquat de points fixés et sont tangentes à $L$. Je discuterai ensuite plusieurs applications de ces résultats.
Comment caractériser les germes de fonctions indéfiniment différentiables qui sont entièrement déterminés, modulo un changement de variable lisse, par leur série de Taylor à l’origine, ou leur jet sur un fermé ? Dans le cas de germes à point critique isolé, le problème est parfaitement compris depuis les années 70 -- il s’agit en quelque sorte d’une variante "d’ordre infini" de la notion de jet suffisant (selon la terminologie de Thom) ou de détermination de germes (selon celle de Mather). Il en va autrement pour les singularités non isolées, où une caractérisation est connue seulement dans des cas très particuliers. On présentera un résultat sensiblement plus général.