Dans cet exposé, nous commencerons par définir l'espace métrique des nombres p-adiques comme complété du corps des rationnels pour la valeur absolue p-adique. Cette distance vérifie l'inégalité ultramétrique ce qui induit des propriétés topologiques très différentes de la topologie réelle. Néanmoins les boules sont compactes et il existe une mesure de Haar. On peut alors définir une intégrale et développer une analyse harmonique similaire à la théorie classique réelle. Nous donnerons ensuite l'exemple de l'espace métrique des séries formelles à coefficients complexes muni de sa distance t-adique. Dans ce contexte les boules ne sont plus compactes mais il existe néanmoins une théorie de l'intégration et une notion de finitude fournie par des théorèmes de logique. Nous esquisserons cela. Nous rappellerons enfin la notion de front d'onde d'une distribution à la Hormander en analyse réelle et nous conclurons l'exposé en donnant les idées de construction de son analogue dans les cadres ultramétriques précédents. L'esprit de cet exposé sera celui d'un colloquium, où l'on présentera en priorité des idées et des exemples.
Au cours de cet exposé, nous nous intéresserons à quelques limites singulières issues de problèmes de la mécanique des fluides. Nous verrons qu'une approche couplant géométrie et analyse fonctionnelle est nécessaire lorsque l'on désire comprendre certains phénomènes physiques sous-jacents : amortissement, croisements de valeurs propres, transversalité, EDO singulières, analyse microlocale sont quelques exemples de concepts mathématiques que l'on est alors amené à rencontrer. Nous discuterons quelques exemples récemment étudiés et exhiberons quelques problèmes actuels.
In this talk we shall recall the notion of hyperfields, i.e. fields with multivalued addition, provide a collection of examples of hyperfields, and show how they can be used to characterize Witt equivalence of fields. We shall also investigate the Witt equivalence of certain types of fields in some more detail.
Dans cet exposé, je présenterai des résultats obtenus sur l'apparition de contact entre solides rigides dans un fluide visqueux et expliquerai comment la méthode de preuve est reliée au calcul d'asymptotique des solutions du problème de Stokes dans des domaines développant des cusps. Je présenterai ces calculs asymptotiques et discuterai leur adaptation au cas où les solides ne sont plus supposés rigides.
Abstract: In papers by Alon, Pach, Pinchasi, Radoicic, Sharir and Fox, Gromov, Lafforgue, Naor, Pach it is demonstrated that families of graphs with the edge relation given by a semialgebraic relation of bounded complexity satisfy much stronger regularity properties than arbitrary graphs, and can be decomposed into very homogeneous semialgebraic pieces modulo a small mistake (for example the incidence relation between points and lines on the real plane, or higher dimensional analogues). We show that in fact the theory can be developed for families of graphs whose edge relation is uniformly definable in a structure satisfying a certain model theoretic property called distality, with respect to a large class of measures. Moreover, distality characterizes these strong regularity properties. The result is similar in spirit to the recent algebraic regularity lemma of Tao, but covers an orthogonal class of examples (and applies in particular to graphs definable in arbitrary o-minimal theories and in p-adics). Joint work with Sergei Starchenko.
Le modèle de Saint Venant (Shallow Water) est largement utilisé depuis son introduction en 1871 pour modéliser des écoulements dont la hauteur est faible en vis-à-vis de la longueur. Il est obtenu en intégrant les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement sur toute la hauteur d'eau. Sa forme traditionnelle repose sur l'approximation de fluide parfait, bien que des termes de friction soient ajoutés afin de prendre en compte la viscosité du fluide. Nous allons adopter la même stratégie d'une moyenne sur la hauteur d'eau mais elle sera couplée avec une fine couche visqueuse. De cette façon, le terme de friction apparaîtra naturellement dans le modèle intégré. Il sera cependant contrebalancé par un terme de pression modifiée. Ce modèle possède de bonnes propriétés pour le frottement, notamment que son maximum soit placé avant le sommet d'une bosse sur fond plat. Ce phénomène naturel était absent du modèle de Saint Venant.
In this talk we analyze evolutionary integral based methods for image restoration. In these models, the image evolves according to Volterra type equations and the diffusion is controlled by a convolution kernel. The discussion will involve well-posedness, scale-space properties and long-term behaviour in the continuous and discrete cases, and will include some numerical experiments to illustrate the performance of the models in image denoising and contour detection.
Partie I (Rodolphe Lepigre) : Le développement de Patoline (un nouveau système de composition de documents) nécessite un parseur extensible d'OCaml sans contrainte, notamment sur l'analyse lexicale. Nous présentons ici un environnement de développement léger pour l'analyse syntaxique, conçu en deux mois pendant l'été 2014 pour répondre à ce besoin. Le système propose une syntaxe intuitive de type BNF, sans récursion à gauche. Les parseurs sont traduits vers des expressions OCaml utilisant DeCaP, notre bibliothèque de combinateurs monadiques, et sont donc des expressions de première classe. Pour optimiser les combinateurs, nous utilisons des continuations et une méthode de prédiction des premiers caractères acceptés par une grammaire. Sur la grammaire d'OCaml, on obtient en moyenne une analyse cinq fois plus lente qu'avec le parseur d'origine et deux fois plus rapide qu'avec Camlp4. De plus, on dispose de combinateurs inspirés de la notion de continuation délimitée pour optimiser les grammaires. Notons que nous gérons aussi les grammaires ambigües. Partie II (Christophe Raffalli) : Parser combinators are popular among functional programmers because they can be used to define languages parameterised by other languages and benefit from the strong type systems of the host language. Parser combinators have the reputation of being slow... However, with a few improvement, they become no more than five to ten times slower than stack automaton. It is easy to translate a BNF-like syntax into calls to combinators while keeping there advantages. However one main drawback remains: left recursion is forbidden. Although left recursion can easily be eliminated from a context free grammar, the presence of parametrised grammars requires more: a fixpoint combinator compatible with left recursion.
The concept of pattern within a combinatorial structure is an essential notion in combinatorics, whose study has had many developments in various branches of discrete mathematics. Among them, the research on permutation patterns and pattern-avoiding permutations has become very active. Nowadays, these researches have being developed in several other directions, one of them concerning the definition and the study of an analogue concept in other combinatorial objects. Some recent studies are presented here, concerning patterns in bidimensional structure, and, specifically, inside polyominoes. After introducing polyomino classes, I present an original way of characterizing them by avoidance constraints (namely, with excluded submatrices) and I discuss how canonical such a description by submatrix-avoidance can be. I also provide some examples of polyomino classes defined by submatrix-avoidance, and I conclude with some hints for future research on the topic.
Nous présentons un travail avec Mischler où nous développons et appliquons notre théorie de factorisation d'opérateurs aux équations de Fokker-Planck cinétiques (en espace et vitesse), avec confinement par périodicité ou par un potentiel extérieur. En particulier nous obtenons différents résultats de stabilité nouveaux pour des solutions avec décroissance polynômiale et dans des topologies faibles.
Comment démontrer que l'équation des Water-Waves est bien posée en temps long si on ne fait aucune hypothèse de petitesse sur la topographie ? Après avoir expliqué comment on peut démontrer un tel résultat sur un modèle plus simple (l'équation Shallow Water), on présente l'adaptation de la méthode au cas des Water-Waves.
En 1933 Lehmer enonce le problème suivant : existe-t-il une constante c > 0 telle que la mesure de Mahler M(α) de tout nombre algébrique α non nul et différent d’une racine de l’unité vérifie M(α) ≥ 1 + c. La Conjecture de Lehmer affirme que oui (C. Smyth, ”Survey”, 2014). Pour la tester de nombreuses familles de nombres algébriques tendant vers 1 ont été considérées. Il s'agit d’un problème limite et de minoration de M (ou de la hauteur pour des courbes elliptiques ou des variétés Abéliennes). Un autre problème limite ouvert est de caractériser le premier dérivé de l'ensemble des nombres de Salem T. Une première conjecture de Boyd dit que la réunion S ∪ T des ensembles des nombres de Pisot et de Salem est fermé. Une deuxième conjecture de Boyd affirme que le premier dérivé de l'ensemble des nombres de Salem est l'ensemble des nombres de Pisot. A chaque nombre algébrique réel β > 1 on peut souvent associer trois fonctions zeta dynamiques : (i) la fonction zeta d’Artin-Mazur de la beta-transformation ζ_β(z), qui provient du système dynamique de numération de Rényi-Parry, la base ́étant β; (ii) pour un polynôme P de petit hauteur s’annulant sur β, la fonction zeta de Lefshetz ζ_{L,β,P}(z), qui provient d’un automorphisme du tore n-dimensionnel, où n = deg P, et (iii) la fonction zeta d’Artin-Mazur ζ{AM,β,P}(z), qui provient de la même action sur le tore n-dimensionnel. Si (β_i) est une suite convergente de nombres algebriques, une question fondamentale est de savoir si les fonctions zeta limites peuvent apporter des solutions ou un éclairage nouveau sur ces questions ; par exemple, caractériser la limite des ensembles de pôles des fonctions ζ_{β_i}(z) lorsque i tend vers l'infini. En effet, le contrôle de la hauteur peut donner lieu à des phénomènes d'équidistribution limite de conjugués sur le cercle unité (Bilu, Petsche, Pritsker). On prendra l'exemple d'une famille F de nombres de Perron, qui tendent vers 1, racines dominantes de trinômes de hauteur 1 non réciproques, et de petite mesure de Mahler. On montrera que les développements asymptotiques (de Poincaré) des pôles des fonctions ζ_{β_i}(z) permettent d'obtenir le développement asymptotique de la mesure de Mahler et de prouver directement que la conjecture de Lehmer est vraie pour la famille F.
The normal practice in modelling of Controlled Radical Polymerization (CRP) is to apply Monte Carlo based stochastic simulation algorithms assuming the processes to be Markovian. We argue that such an approach overlooks the delayed nature of some processes involved in CRP and do suggest the methodology that overcomes this deficit. The proposed methodology offers the analytical representations for the probability density functions corresponding to the delayed processes as in the cases when the amount of delay is known exactly as it is unknown. Moreover, to improve the accuracy and efficiency of our modelling approach for computation of branching fraction in CRP, we replace the random walk Monte Carlo with the analytical solution. The comparison of the novel methodology with the traditional simulation methods and the experimental data is provided.
Nous montrons une version presque complexe d'une question de Bogomolov concernant le plongement de variétés complexes compactes dans un espace projectif complexe. C'est un travail en commun avec Jean-Pierre Demailly.
(Travail avec Peter Hancock) Brouwer savait déjà que les fonctions continues entre stream (avec la topologie produit habituelle) pouvaient être représentées par des arbres infinis. Peter Hancock a montré comment transformer ce théorème de représentation'' en théorie des types dépendant permettant de manipuler ces fonctions comme un type de données standard. Nous avons récemment pu généraliser ces idées à de nombreux types de données coinductifs en utilisant la notion destructure d'interaction'' (ou container indexé'' oufoncteur polynomial''). J'essaierais d'introduire les notions nécessaire au fur et à mesure : types dépendants, définitions inductives et coinductives, définitions inductive-récursives, etc.
Les réseaux de robots mobiles reçoivent depuis quelques années une attention croissante de la part de la communauté de l'algorithmique distribuée. Si l'utilisation d'essaims de robots coopérant dans l'exécution de diverses tâches est une perspective séduisante, l'analyse de la faisabilité de certaines tâches dans ce cadre émergent est extrêmement ardue, en particulier si certains robots présentent des comportements dits byzantins, c'est-à-dire arbitraires voire hostiles.
Pour obtentir des garanties formelles dans ce contexte, nous proposons un cadre mécanique formel fondé sur l'assistant à la preuve Coq et adapté aux réseaux de robots. Nous nous intéressons en particulier aux résultats d'impossibilité, fondamentaux en algorithmique distribuée en ce sens qu'ils établissent ce qui peut ou ne peut pas être réalisé et permettent de définir des bornes et, par là, l'optimalité de certaines solutions. Utiliser un assistant comme Coq travaillant à l'ordre supérieur nous permet d'exprimer aisément des quantifications sur les algorithmes, ceux-ci étant considérés comme des objets abstraits. Nous illustrons les possibilités offertes par notre développement en présentant les premières preuves formelles (et donc certifications) de certains résultats comme l'impossibilité de la convergence de robots amnésiques lorsqu'un tiers d'entre eux sont byzantins, ou encore l'impossibilité du rassemblement pour un nombre pair de robots évoluant dans R.